[论文解读] Constructing a chaotic system with any number of equilibria

Xiong Wang, Guanrong Chen|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2012

Chaos control and synchronization参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过将具有单个稳定平衡点的基系统施加对称变换，构造出具有任意预设数量平衡点的三维混沌系统。通过调节单一参数，可控制这些平衡点的稳定性，从而生成具有1个、2个、3个或更多平衡点的混沌系统，揭示了平衡点数量/稳定性与全局混沌动力学之间的直接关联。

ABSTRACT

In the chaotic Lorenz system, Chen system and Rössler system, their equilibria are unstable and the number of the equilibria are no more than three. This paper shows how to construct some simple chaotic systems that can have any preassigned number of equilibria. First, a chaotic system with no equilibrium is presented and discussed. Then, a methodology is presented by adding symmetry to a new chaotic system with only one stable equilibrium, to show that chaotic systems with any preassigned number of equilibria can be generated. By adjusting the only parameter in these systems, one can further control the stability of their equilibria. This result reveals an intrinsic relationship of the global dynamical behaviors with the number and stability of the equilibria of a chaotic system.

研究动机与目标

• 解决目前缺乏系统化方法来设计具有预设数量平衡点的混沌系统的问题。
• 探索是否可以构建出具有任意期望数量平衡点（包括稳定与不稳定配置）的混沌系统。
• 研究平衡点数量、稳定性与由此产生的全局动力学行为（如多-scroll或多翼吸引子）之间的关系。
• 证明即使所有轨迹在局部收敛至稳定平衡点，混沌仍可保持存在，从而挑战传统的局部-全局动力学假设。

提出的方法

• 从一个具有单个稳定平衡点的混沌系统（2）出发，该系统由修改Sprott E系统导出。
• 应用对称变换——特别是复数幂映射，如 (x + iz)^n = u + iv——以在y轴方向生成具有n重旋转对称性的系统。
• 该变换在x-z平面上引入n个对称分布的平衡点，平衡点数量由变换中的幂n决定。
• 通过调节原系统中的参数'a'来控制平衡点的稳定性：当'a'为正时，平衡点稳定；当'a'为负时，平衡点不稳定。
• 采用数值分析方法，包括李雅普诺夫指数计算，以确认在不同参数区间下系统仍表现出混沌行为。
• 利用雅可比矩阵分析评估平衡点的特征值，以确定其稳定性类型（例如，稳定节点-焦点或不稳定鞍点-焦点）。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以系统性地设计出具有特定预设数量平衡点的混沌系统？
• RQ2 平衡点的稳定性（稳定与不稳定）如何影响所生成混沌吸引子的结构？
• RQ3 是否可能构造出完全没有平衡点但依然表现出混沌动力学的系统？
• RQ4 是否可以通过单一可调参数在三维自治系统中控制平衡点的数量与稳定性？
• RQ5 平衡点的数量与稳定性与系统全局混沌行为之间存在何种内在关系？

主要发现

• 当系统（1）中的参数a < 0时，成功构造出一个无平衡点的三维混沌系统，但其仍表现出混沌吸引子。
• 当a > 0时，系统（2）在(1/4, 1/16, -16a)处具有且仅具有一个稳定平衡点，当a = 0.006时，其特征值为-0.9607和-0.0197±0.5098i，经验证成立。
• 通过应用(x + iz)^2变换，系统（6）生成两个对称平衡点；当a = 0.003时，其为稳定平衡点（特征值：-0.9334，-0.0333±0.5165i）；当a = -0.01时，其为不稳定平衡点（特征值：-1.0617，0.0308±0.4843i）。
• 通过(x + iz)^3变换，得到系统（12），其具有三个对称平衡点；当a = 0.01时，平衡点稳定（特征值：-0.9334，-0.0333±0.5165i）；当a = -0.01时，平衡点不稳定（特征值：-1.0617，0.0308±0.4843i）。
• 通过(x + iz)^5变换，生成具有五个对称平衡点的系统，并在a = 0时产生五瓣状混沌吸引子，经数值模拟验证成立。
• 在各种参数取值下，最大李雅普诺夫指数始终保持正值，证实所有具有多个平衡点的构造系统均表现出混沌动力学。