[论文解读] Constructing a Distance Sensitivity Oracle in O(n^2.5794 M) Time

Yong Gu, Hanlin Ren|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本文提出了一种针对边权属于{1, 2, ..., M}的有向图的新距离敏感性预言机（DSO），实现了O(n^2.5794 M)的预处理时间与常数时间的查询性能。该方法依赖于一种新颖的模x^r下度d多项式矩阵求逆算法，通过使用更快的长方形矩阵乘法进行加速，并实现了O(n^2.5286 M)时间内的唯一最短路径计算，优于先前的界限。

ABSTRACT

We continue the study of distance sensitivity oracles (DSOs). Given a directed graph G with n vertices and edge weights in {1, 2, … , M}, we want to build a data structure such that given any source vertex u, any target vertex v, and any failure f (which is either a vertex or an edge), it outputs the length of the shortest path from u to v not going through f. Our main result is a DSO with preprocessing time O(n^2.5794 M) and constant query time. Previously, the best preprocessing time of DSOs for directed graphs is O(n^2.7233 M), and even in the easier case of undirected graphs, the best preprocessing time is O(n^2.6865 M) [Ren, ESA 2020]. One drawback of our DSOs, though, is that it only supports distance queries but not path queries. Our main technical ingredient is an algorithm that computes the inverse of a degree-d polynomial matrix (i.e. a matrix whose entries are degree-d univariate polynomials) modulo x^r. The algorithm is adapted from [Zhou, Labahn and Storjohann, Journal of Complexity, 2015], and we replace some of its intermediate steps with faster rectangular matrix multiplication algorithms. We also show how to compute unique shortest paths in a directed graph with edge weights in {1, 2, … , M}, in O(n^2.5286 M) time. This algorithm is crucial in the preprocessing algorithm of our DSO. Our solution improves the O(n^2.6865 M) time bound in [Ren, ESA 2020], and matches the current best time bound for computing all-pairs shortest paths.

研究动机与目标

• 设计一种针对边权为有界整数的有向图的距离敏感性预言机（DSO）的更快预处理算法。
• 将有向图的预处理时间降低至先前O(n^2.7233 M)的界限以下，同时将无向图的预处理时间降低至O(n^2.6865 M)以下。
• 开发一种高效算法，用于在O(n^2.5286 M)时间内计算唯一最短路径，该算法支持DSO的构建。
• 将多项式矩阵求逆技术适配于最短路径计算场景，以实现更快的矩阵运算。

提出的方法

• 核心方法涉及使用Zhou等人（2015）提出的方法的修改版本，计算模x^r下度d多项式矩阵的逆矩阵。
• 该算法将某些中间步骤替换为更快的长方形矩阵乘法算法，以改善渐近时间复杂度。
• 利用该矩阵求逆技术构建DSO，以支持在顶点或边失效情况下的常数时间距离查询。
• 最短路径计算依赖于一种新算法，可在O(n^2.5286 M)时间内计算唯一最短路径，该算法在DSO预处理过程中被使用。
• 该方法利用多项式上的代数结构，高效编码与查询故障情况下的替代路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将有向图的距离敏感性预言机的预处理时间降低至O(n^2.7233 M)以下？
• RQ2 能否为具有小整数边权的有向图设计一种更快的唯一最短路径计算算法？
• RQ3 能否通过先进的长方形矩阵乘法技术优化多项式矩阵求逆，以应用于图算法？
• RQ4 所提出的矩阵求逆方法是否能在保持常数查询时间的前提下，实现更快的DSO构建？

主要发现

• 本文实现了O(n^2.5794 M)的预处理时间，用于构建支持常数时间查询的距离敏感性预言机，优于先前的O(n^2.7233 M)界限。
• 唯一最短路径计算算法的运行时间为O(n^2.5286 M)，与当前所有点对最短路径的最优时间复杂度一致。
• 在多项式矩阵求逆中引入长方形矩阵乘法，显著提升了预处理阶段的渐近性能。
• DSO构建仅支持距离查询，不支持路径重构，这是当前方法的一个局限。