[论文解读] Constructing a Lattice With the Cardinalities of the Sets of Congruences, Filters and Ideals Pairwise Distinct

Claudia Mureșan|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2017

Advanced Algebra and Logic被引用 4

一句话总结

本文在不假定连续统假设的前提下，通过有界格的水平和构造了一个有界格，使得其滤子、理想与同余关系集合的基数两两不同。其主要贡献在于提出了一种新颖的格构造方法，通过确保这三个集合的基数均为不同的无限基数，解决了普遍代数中的一个开放问题。

ABSTRACT

In this paper, I am giving a solution to the problem I have proposed in [eucard]: finding a lattice with the cardinalities of the sets of filters, ideals and congruences pairwise distinct; I am constructing such a lattice by using horizontal sums, and without enforcing the Continuum Hypothesis. This research has also produced a set of results on (prime) filters, ideals and congruences in horizontal sums of bounded lattices.

研究动机与目标

• 解决 [eucard] 中提出的开放问题，即是否存在一个格，其滤子、理想与同余关系集合的基数两两不同。
• 通过有界格的水平和构造此类格，避免依赖连续统假设。
• 在有界格的水平和中建立关于（素）滤子、理想与同余关系的基础结果。

提出的方法

• 该构造利用有界格的水平和，以独立控制滤子、理想与同余关系集合的基数。
• 该方法确保所构造格的滤子、理想与同余关系集合具有不同的无限基数。
• 其利用水平和的结构特性，以隔离并操控这些集合的大小。
• 该方法避免了诸如连续统假设等集合论假设，确保结果在标准 ZFC 集合论中成立。
• 分析聚焦于格运算与所构造和中滤子、理想与同余关系生成之间的相互作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个有界格，使其滤子、理想与同余关系集合的基数两两不同？
• RQ2 此类构造是否可在不假设连续统假设的前提下实现？
• RQ3 在有界格的水平和中，（素）滤子、理想与同余关系的性质如何表现？
• RQ4 何种结构条件可确保格中这三个集合的基数互不相同？
• RQ5 能否使同余关系集合的基数在格中严格不同于滤子与理想集合的基数？

主要发现

• 明确构造了一个有界格，其滤子、理想与同余关系集合的基数为两两不同的无限基数。
• 该构造仅依赖于有界格的水平和，且无需连续统假设。
• 该方法构造出的格中，同余关系集合的基数严格不同于滤子与理想集合的基数。
• 在有界格的水平和中，建立了关于（素）滤子、理想与同余关系的新结构结果。
• 在所构造的格中，这三个集合的基数被证明是相互独立的，满足原始问题的条件。