[论文解读] Constructing absolute maximally entangled states and optimal quantum error correcting codes

Zahra Raissi, Christian Gogolin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 1

一句话总结

该论文利用经典最大距离可分（MDS）码的联系，为局部维数 $ q \geq n-1 $（$ q $ 为素数幂）的 $ n $ 个参与者的系统构造了绝对最大纠缠（AME）态。它发展了一套针对 AME 态的稳定子形式，并构造了一个 $[\![n,1,n/2]\!]_q$ 量纠错码族（$ n $ 为偶数），在一项由数值证据支持的猜想下，该码族达到了量子 Singleton 界。

ABSTRACT

Absolutely maximally entangled (AME) states are pure multi-partite generalizations of the bipartite maximally entangled states with the property that all reduced states of at most half the system size are in the maximally mixed state. AME states are of interest for multipartite teleportation and quantum secret sharing and have recently found new applications in the context of high-energy physics in toy models realizing the AdS/CFT-correspondence. We work out in detail the connection between AME states of minimal support and classical maximum distance separable (MDS) error correcting codes and, in particular, provide explicit closed form expressions for AME states of $n$ parties with local dimension $q$ a power of a prime for all $q \geq n-1$. Building on this, we construct a generalization of the Bell-basis consisting of AME states and develop a stabilizer formalism for AME states. For every $q \geq n-1$ prime we show how to construct QECCs that encode a logical qudit into a subspace spanned by AME states. Under a conjecture for which we provide numerical evidence, this construction produces a family of quantum error correcting codes $[\![n,1,n/2]\!]_q$ for $n$ even, saturating the quantum Singleton bound. We show that our conjecture is equivalent to the existence of an operator whose support cannot be decreased by multiplying it with stabilizer products and explicitly construct the codes up to $n = 8$.

研究动机与目标

• 建立最小支撑 AME 态与经典 MDS 码之间的精确对应关系。
• 为局部维数 $ q \geq n-1 $（$ q $ 为素数幂）的 $ n $ 个参与者的系统，提供 AME 态的显式闭式构造。
• 发展一种专用于 AME 态的稳定子形式，以支持量子纠错应用。
• 构造将一个逻辑量子位元编码到由 AME 态张成的子空间中的量子纠错码（QECC）。
• 在一项由数值证据支持的猜想下，证明这些码实现了量子 Singleton 界，从而表明其最优性。

提出的方法

• 利用 AME 态与经典 MDS 码之间的对偶性，推导出在 $ \mathbb{C}^q $ 上、满足 $ q \geq n-1 $ 且 $ q $ 为素数幂的 AME 态的显式表达式。
• 利用有限域结构与对称张量构造，生成具有最小支撑的 AME 态，确保所有大小不超过 $ \lfloor n/2 \rfloor $ 的子系统之间实现最大纠缠。
• 通过识别在局部操作下保持 AME 性质的稳定子生成元，为 AME 态引入稳定子形式。
• 构造一个完全由 AME 态组成的广义贝尔基，从而为量子信息协议提供一组完整的最大纠缠资源态。
• 通过将一个逻辑量子位元编码到由 AME 态张成的子空间中，推导出一个 $[\![n,1,n/2]\!]_q$ 码族，码距 $ d = n/2 $。
• 通过经验验证，存在一个非简并算符，其支撑无法通过稳定子乘积进一步缩减，从而支持了码最优性背后的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地构造出局部维数 $ q \geq n-1 $（$ q $ 为素数幂）的 $ n $ 个参与者的最小支撑 AME 态？
• RQ2 AME 态与经典 MDS 码之间存在何种精确的代数关联？该关联如何被用于生成显式态形式？
• RQ3 如何将稳定子形式适配以描述和操作 AME 态，从而用于量子纠错？
• RQ4 所构造的 QECC 是否实现了量子 Singleton 界？在何种条件下可保证其最优性？
• RQ5 是否存在一种结构性障碍——以不可约简的算符支撑形式表达——其存在将意味着所构造码的最优性？

主要发现

• 利用有限域构造，推导出局部维数 $ q \geq n-1 $（$ q $ 为素数幂）的 $ n $ 个参与者的 AME 态的显式闭式表达式。
• 构造了一个完全由 AME 态组成的广义贝尔基，为量子网络提供了一组完整的最大纠缠资源态。
• 发展了一套针对 AME 态的稳定子形式，使得其纠缠性质能够被系统地操作与验证。
• 对于每个满足 $ q \geq n-1 $ 的素数 $ q $，构造出一个 $[\![n,1,n/2]\!]_q$ 量纠错码族，将一个逻辑量子位元编码到由 AME 态张成的子空间中。
• 在一项由数值证据支持的猜想下，这些码族达到了量子 Singleton 界，表明其在距离与编码率方面具有最优性。
• 这些码已显式构造至 $ n = 8 $，且该猜想等价于存在一个其支撑无法通过稳定子乘积缩减的算符。