[论文解读] Constructing and counting number fields

Henri Cohen|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 13

一句话总结

本文综述了用于渐近和精确计数具有给定伽罗瓦群的数域的先进方法，重点关注次数不超过4的情况，使用库默尔理论、类域论和准齐次向量空间。它建立了判别式范数 ≤ X 的此类数域的数量渐近增长为 $ c_K(G) X^{1/i(G)} ("log X)^{b_K(G)-1} $，并对 $ S_3 $、$ D_4 $ 和 $ S_4 $ 等群给出了精确常数和误差项，并提供了构建判别式界内完整数域表的算法。

ABSTRACT

In this paper we give a survey of recent methods for the asymptotic and exact enumeration of number fields with given Galois group of the Galois closure. In particular, the case of fields of degree up to 4 is now almost completely solved, both in theory and in practice. The same methods also allow construction of the corresponding complete tables of number fields with discriminant up to a given bound.

研究动机与目标

• 开发并综述用于渐近和精确枚举具有指定伽罗瓦群的数域的现代方法。
• 为具有判别式范数 ≤ X 和给定伽罗瓦群 G 的 n 次数域的数量建立精确的渐近公式。
• 提供构建给定判别式界内完整数域表的算法，尤其针对次数 ≤ 4 的情况。
• 研究关于此类计数函数增长速率的马拉猜想的有效性和结构。
• 将经典方法如类域论和库默尔理论扩展至高次扩张，使用准齐次向量空间和序分类。

提出的方法

• 使用库默尔理论处理阿贝尔和可解扩张，特别适用于通过射影类群和 2-秩对序进行分类和计数。
• 应用类域论，结合射影类群和莫比乌斯求和函数来计数二次和三次扩张，尽管在渐近计数方面效用有限。
• 利用准齐次向量空间通过群作用对形式（例如，四次序的三元二次型对）对序进行分类。
• 利用比哈尔瓦对四次和五次序的分类，使用 $ \mathbb{Z}^2 \otimes \text{Sym}^2(\mathbb{Z}^3) $ 和 $ \mathbb{Z}^4 \otimes \Lambda^2(\mathbb{Z}^5) $，并分别在 $ \text{SL}_2(\mathbb{Z}) \times \text{SL}_3(\mathbb{Z}) $ 和 $ \text{SL}_4(\mathbb{Z}) \times \text{SL}_5(\mathbb{Z}) $ 作用下进行。
• 在素数 p 处施加局部算术条件以限制为最大序，对 p = 2、3 和一般 p > 3 进行显式计算。
• 通过在基本域的尖点附近计数点来估计固定判别式的轨道数，依赖于表示与群作用之间维度差为 1 的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有伽罗瓦群 G 且判别式范数 ≤ X 的 n 次数域的数量的渐近增长速率是什么？
• RQ2 对于特定群和基域，马拉猜想中的常数能否显式计算？
• RQ3 如何算法性地构建给定伽罗瓦群下判别式范数 ≤ X 的完整数域表？
• RQ4 经典方法如类域论在多大程度上无法产生渐近计数结果，而现代替代方法如何克服这一局限？
• RQ5 准齐次向量空间和序分类在计数次数超过 4 的数域中起什么作用？

主要发现

• 对于 $ K = \mathbb{Q} $，$ G = S_3 $，有 $ N_{\mathbb{Q},3}(S_3,X) \sim \frac{1}{\zeta(3)} X $，证实了戴文波特-海布伦定理。
• 对于任意 $ K $，有 $ N_{K,3}(S_3,X) \sim \left(\frac{2}{3}\right)^{r_1-1} \left(\frac{1}{6}\right)^{r_2} \frac{\zeta_K(1)}{\zeta_K(3)} X $，将结果推广至一般数域。
• 对于 $ K = \mathbb{Q} $，$ G = S_4 $，有 $ N_{\mathbb{Q},4}(S_4,X) \sim \frac{5}{6} \prod_p \left(1 + \frac{1}{p^2} - \frac{1}{p^3} - \frac{1}{p^4}\right) X $，其中精确常数由欧拉乘积导出。
• 对于任意 $ K $，$ N_{K,4}(S_4,X) $ 的上下界分别为 $ c_1 X $ 和 $ c_2 X \log^2 X $，在收敛性假设下，渐近公式为 $ c_K(S_4) X $，且在素数上具有乘积公式。
• 对于 $ K = \mathbb{Q} $，$ G = S_5 $，有 $ N_{\mathbb{Q},5}(S_5,X) $ 满足 $ c_1 X < N_{\mathbb{Q},5}(S_5,X) < X^{1+\varepsilon} $ 对所有 $ \varepsilon > 0 $ 成立，弱形式支持马拉猜想。
• 本文表明，对于 $ \mathbb{Q} $ 上的三次域，Dirichlet 级数 $ \sum_L |d(L)|^{-s} $ 即使在 $ \Re(s) = 1 $ 处也保持非解析延拓，凸显了深层的开放问题。