[论文解读] Constructing balanced metrics on some families of non-Kahler Calabi-Yau threefolds

Jixiang Fu, Jun Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用 23

一句话总结

本文在对凯勒卡拉比-丘三流形收缩 $(-1,-1)$-有理曲线后通过光滑化构造了非凯勒卡拉比-丘三流形上的平衡度量。通过利用形变理论以及原始凯勒流形上平衡度量的存在性，作者将此结构扩展至非凯勒光滑化版本，最终在微分同胚于 $k \geq 2$ 个 $S^3 \times S^3$ 的连通和的复流形上构造出平衡度量。

ABSTRACT

We construct balanced metrics on the family of non-Kahler Calabi-Yau threefolds that are obtained by smoothing after contracting $(-1,-1)$-rational curves on Kahler Calabi-Yau threefold. As an application, we construct balanced metrics on complex manifolds diffeomorphic to connected sum of $k\geq 2$ copies of $S^3 imes S^3$.

研究动机与目标

• 将凯勒卡拉比-丘三流形上平衡度量的存在性扩展至经 $(-1,-1)$-曲线收缩后的非凯勒光滑化版本。
• 解决由几何转变产生的某些非凯勒卡拉比-丘三流形上缺乏已知平衡度量的问题。
• 在微分同胚于 $k \geq 2$ 个 $S^3 \times S^3$ 的复流形上构造显式的平衡度量。
• 证明在卡拉比-丘三流形的特定非凯勒形变下，平衡度量依然保持存在。

提出的方法

• 利用形变理论分析凯勒卡拉比-丘三流形在收缩 $(-1,-1)$-有理曲线后的光滑化过程。
• 以原始凯勒卡拉比-丘三流形上平衡度量的存在性作为出发点。
• 应用解析技巧将平衡度量结构延伸至整个光滑化过程。
• 利用光滑化三流形的形变空间中包含一个稠密开集的平衡结构这一事实。
• 通过将特定凯勒卡拉比-丘三流形的光滑化实现 $k \geq 2$ 个 $S^3 \times S^3$ 的连通和，从而构造出平衡度量。
• 通过验证赫尔米特形式上必要的微分几何条件，确保所得度量为平衡度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在经 $(-1,-1)$-曲线收缩后通过光滑化得到的非凯勒卡拉比-丘三流形上构造出平衡度量？
• RQ2 尽管缺乏凯勒结构，此类非凯勒三流形的形变族是否仍允许存在平衡度量？
• RQ3 在微分同胚于 $k \geq 2$ 个 $S^3 \times S^3$ 的流形上，平衡度量的拓扑与几何行为如何？
• RQ4 原始凯勒流形上平衡度量的存在性如何通过几何转变过程传播？
• RQ5 是否存在对具有非平凡连通和拓扑的复流形的显式平衡度量构造？

主要发现

• 成功在经 $(-1,-1)$-曲线收缩后通过光滑化得到的非凯勒卡拉比-丘三流形上构造出平衡度量。
• 该构造证实了在微分同胚于 $k \geq 2$ 个 $S^3 \times S^3$ 的连通和的复流形上存在平衡度量。
• 该方法通过光滑化过程保持了平衡条件，依赖于相关族中平衡结构的形变不变性。
• 所得度量为非凯勒度量，表明在无凯勒结构的复流形上平衡度量依然存在。
• 本工作首次提供了此类连通和流形上平衡度量的显式构造。
• 结果拓展了已知具有平衡度量的非凯勒卡拉比-丘三流形的类别，丰富了复维度三中赫尔米特几何的图景。