[论文解读] Constructing (Co)inductive Types via Large Sizes

Benno van den Berg, Bastiaan Laarakker+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2026

Logic, programming, and type systems被引用 0

一句话总结

该论文通过引入一个“大尺寸”类型和参数化尺寸量词来扩展直觉型理论，以编码所有（共）歧义型，并通过将尺寸解释为不可数序以构 realisability 模型来证明一致性。

ABSTRACT

To ensure decidability and consistency of its type theory, a proof assistant should only accept terminating recursive functions and productive corecursive functions. Most proof assistants enforce this through syntactic conditions, which can be restrictive and non-modular. Sized types are a type-based alternative where (co)inductive types are annotated with additional size information. Well-founded induction on sizes can then be used to prove termination and productivity. An implementation of sized types exists in Agda, but it is currently inconsistent due to the addition of a largest size. We investigate an alternative approach, where intensional type theory is extended with a large type of sizes and parametric quantifiers over sizes. We show that inductive and coinductive types can be constructed in this theory, which improves on earlier work where this was only possible for the finitely-branching inductive types. The consistency of the theory is justified by an impredicative realisability model, which interprets the type of sizes as an uncountable ordinal.

研究动机与目标

• 在依赖类型编程与数学中为终止性与生产力提供保证的动机。
• 开发一个使用大尺寸和参数化量词来编码（共）归纳类型的类型理论框架。
• 为所有多项式自函子提供一致的归纳与共归纳类型的编码。
• 展示尺寸索引结构如何产生初始代数与最终煤代数。
• 通过基于 Hyland 的有效 topos 的 realisability 模型来证明一致性。
• 确保与同伦型理论的兼容性，避免依赖等同性证明的唯一性。

提出的方法

• 引入具有零、后继以及基于尺寸的良定性归纳原则（fix）的 Size 类型。
• 添加对尺寸的逆序/存在量词（不定地量词）的 predicative 能力以及尺寸与类型构造子之间参数化性的公理。
• 定义尺寸索引的自函子（Diamond 和 Box）以建模对尺寸的有界存在量化和对尺寸的普遍量化。
• 通过基于 fixpoint 的展开与初始性论证构造尺寸索引的初始代数并证明其存在性。
• 证明普通未索引的自函子 F 通过对尺寸索引初始代数的存在量化以及左伴随关系得到一个初始代数。
• 通过将尺寸类型解释为不可数序的 realisability 模型提供一致性论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够使用大尺寸和参数化量词为所有多项式自函子编码归纳与共归纳类型？
• RQ2 在存在逆序性的新情形下，尺寸量词如何与标准类型构造子和宇宙相互作用？
• RQ3 结果理论是否一致，如何通过 realisability 模型加以证明？
• RQ4 尺寸索引结构与现有方法如受守护类型理论在形成（共）归纳类型方面有何关系？

主要发现

• 所有（共）归纳类型都可以使用尺寸和参数化量词进行编码。
• 通过多项式自函子对初始代数与最终煤代数实现归纳与共归纳构造。
• 一致性通过将尺寸类型解释为不可数序的 realisability 模型来证明。
• 该方法内部化参数性并避免依赖等同性证明的唯一性，从而实现与 HoTT 的兼容性。
• 该理论在保持外延推理的前提下，将 Martin-Löf 型理论扩展为包含大尺寸类型和逆序尺寸量词。
• 尺寸量词与类型构造子之间的参数化对齐公理支撑了这些编码。