[论文解读] Constructing copulas from shock models with imprecise distributions

Matjaž Omladič, Damjan Škulj|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2018

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 66被引用 11

一句话总结

本文在分布模糊性下，基于冲击模型构建了不精确的阿基米德Copula，使用p-box表示不确定的边缘分布。它提出了Marshall和最大-最小Copula的不精确版本，满足强于标准不精确Copula的条件，即使不精确Sklar定理不完全适用，也能提供更紧的联合依赖边界。

ABSTRACT

The omnipotence of copulas when modeling dependence given marg\-inal distributions in a multivariate stochastic situation is assured by the Sklar's theorem. Montes et al.\ (2015) suggest the notion of what they call an \emph{imprecise copula} that brings some of its power in bivariate case to the imprecise setting. When there is imprecision about the marginals, one can model the available information by means of $p$-boxes, that are pairs of ordered distribution functions. By analogy they introduce pairs of bivariate functions satisfying certain conditions. In this paper we introduce the imprecise versions of some classes of copulas emerging from shock models that are important in applications. The so obtained pairs of functions are not only imprecise copulas but satisfy an even stronger condition. The fact that this condition really is stronger is shown in Omladi\v{c} and Stopar (2019) thus raising the importance of our results. The main technical difficulty in developing our imprecise copulas lies in introducing an appropriate stochastic order on these bivariate objects.

研究动机与目标

• 将基于冲击模型的Copula（Marshall型与最大-最小型）扩展至边缘分布不精确的场景。
• 解决当边缘分布仅以边界形式已知（即p-box）而非精确已知时，建模依赖结构的挑战。
• 为二元不精确Copula建立一个尊重底层冲击模型结构的随机序框架。
• 探究所得到的不精确Copula是否满足Montes等人定义的不精确Sklar定理，或更强的条件。
• 阐明现有不精确Copula框架在应用于具有不精确输入的冲击模型时的局限性。

提出的方法

• 使用冲击过程建模元件寿命：特异性冲击（X, Y）和一个共同的外生冲击（Z），寿命定义为 U = min{X,Z}, V = min{Y,Z}（Marshall型）或 U = max{X,Z}, V = min{Y,Z}（最大-最小型）。
• 通过p-box（F̲X, F̄X）和（F̲Y, F̄Y）表示不精确边缘分布，分别代表累积分布函数的下界和上界。
• 基于冲击模型和p-box约束，使用分段表达式定义（U,W）的联合分布函数 H(x,y)。
• 通过在p-box内对冲击分布进行极端选择，推导出联合分布函数 H 的下界 H̲ 和上界 H̄。
• 基于冲击水平的模糊性，而非直接基于Copula，引入二元函数上的随机序，以确保有效的随机解释。
• 证明所得到的边界（H̲, H̄）构成一个满足强于标准不精确Copula条件的二元p-box，如推论2和推论3所示。

实验结果

研究问题

• RQ1 Marshall型与最大-最小型Copula能否在边缘分布不精确的设定下被有意义地扩展？
• RQ2 所得到的不精确Copula是否满足Montes等人定义的不精确Sklar定理？
• RQ3 所得到的不精确Copula是否满足一个强于标准不精确Copula定义的更强结构性条件？
• RQ4 当冲击以p-box建模时，应如何在二元不精确对象上定义随机序？
• RQ5 为何联合分布边界（H̲, H̄）无法通过在边界边缘上应用边界Copula来捕捉？

主要发现

• 本文构建了Marshall型与最大-最小型Copula的不精确版本，其满足强于标准不精确Copula的条件，如推论2和推论3所证明。
• 所得到的联合分布边界（H̲, H̄）无法通过在边界边缘上应用边界Copula来捕捉，表明在此设定下不精确Sklar定理不成立。
• 边界（H̲, H̄）通过在p-box内对冲击分布进行极值化得到：H̲ 通过取下界 F̲X, F̲Y 实现，H̄ 通过取上界 F̄X, F̄Y 实现。
• 联合分布函数 H(x,y) 为分段定义：当 x ≤ y 时，H(x,y) = F̲X(x)FZ(x)；当 x ≥ y 时，H(x,y) = F̲X(x)[FZ(y) + F̲Y(y)(FZ(x) − FZ(y))]，上界有类似表达式。
• 下界和上界联合分布函数满足 H̲ ≤ H̄，且对 (H̲, H̄) 构成一个描述所有可能联合分布范围的二元p-box。
• 本文表明不等式 CMMφ,χ ≤ CMMφ̄,χ̄ 不一定成立，表明Copula层面的序关系在通常意义上并非单调，进一步凸显了在冲击模型中对不精确依赖建模的复杂性。