[论文解读] Constructing cut-and-project sets which are close to lattices

Alan Haynes, Henna Koivusalo|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2014

semigroups and automata theory参考文献 7被引用 1

一句话总结

该论文构建了一个无限族的截断与投影集合，其窗集在任意无理截断与投影设置下，使得到格点的分离网络保持有界距离。利用Rauzy对有界余项集的充分条件，证明了在任一维数的完全无理环面旋转中，这些网络通过非平凡的有界余项集均匀接近格点。

ABSTRACT

For any irrational cut-and-project setup, we demonstrate a natural infinite family of windows which gives rise to separated nets that are each bounded distance to a lattice. Our proof provides a new construction, using a sufficient condition of Rauzy, of an infinite family of non-trivial bounded remainder sets for any totally irrational toral rotation in any dimension.

研究动机与目标

• 证明在截断与投影集合中，可构造出无限族窗集，使得生成的分离网络与格点保持有界距离。
• 为任意无理截断与投影设置提供一种新的构造性方法，以生成此类网络。
• 将有界余项集理论推广至高维完全无理环面旋转。
• 建立有界余项集与截断与投影集合几何结构之间的联系。

提出的方法

• 利用Rauzy对环面旋转中具有有界余项集的充分条件，识别内部空间中合适的窗集。
• 将窗集构造为从环面到内部空间的投影映射下有界余项集的原像。
• 利用完全无理环面旋转的性质，确保窗集生成的网络与格点保持均匀有界距离。
• 通过精心选择窗集，确保生成的截断与投影集合保持均匀分离，并与格点保持有界距离。
• 应用动力系统技术分析截断与投影构造中点的分布。
• 通过验证窗集在环面旋转下的有界余项性质，证明所构造的网络与格点保持有界距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可在任意无理截断与投影设置中构造出无限族窗集，使得生成的分离网络与格点保持有界距离？
• RQ2 如何利用高维环面旋转中的有界余项集来生成此类窗集？
• RQ3 何种条件可确保生成的截断与投影集合与格点保持均匀接近？
• RQ4 是否存在一种构造性方法，用于在任意维度中生成完全无理环面旋转的非平凡有界余项集？
• RQ5 有界余项性质能否有效从环面传递到内部空间的窗集，以确保与格点的接近性？

主要发现

• 在任意无理截断与投影设置中，构造出无限族窗集，使得生成的分离网络与格点保持有界距离。
• 该构造依赖于Rauzy对有界余项集的充分条件，确保窗集与格点之间具有均匀有界的差异。
• 该方法适用于任意维度中所有完全无理环面旋转，将先前结果推广至高维。
• 所生成的网络不仅保持分离，且与格点的距离保持均匀有界，且与构造索引无关。
• 该构造提供了一种新的显式方法，用于在高维动力系统中生成非平凡有界余项集。
• 该方法建立了有界余项集与截断与投影集合几何性质之间的直接联系，丰富了非周期序理论。