[论文解读] Constructing dense graphs with sublinear Hadwiger number

Jacob Fox|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 21被引用 5

一句话总结

该论文通过小基图的放大构造出显式、稠密的图，其Hadwiger数为次线性，实现了在 $ N $ 个顶点的图上，Hadwiger数为 $ O(N / \sqrt{\log \log \log N}) $。该方法利用分数团子图数与字典积，确保图及其补图均具有次线性团子图，从而解决了Mader与Thomason长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

Mader asked to explicitly construct dense graphs for which the size of the largest clique minor is sublinear in the number of vertices. Such graphs exist as a random graph almost surely has this property. This question and variants were popularized by Thomason over several articles. We answer these questions by showing how to explicitly construct such graphs using blow-ups of small graphs with this property. This leads to the study of a fractional variant of the clique minor number, which may be of independent interest.

研究动机与目标

• 显式构造在 $ n $ 个顶点上具有 $ o(n) $ Hadwiger数的稠密图，以解决Mader的开放问题。
• 构造图及其补图均具有次线性Hadwiger数的图，从而解决Thomason提出的更强变体问题。
• 开发一种利用小图放大生成此类极值图的框架，实现高效构造。
• 引入并分析团子图数的分数变体，其本身可能具有独立的理论意义。

提出的方法

• 使用字典积放大：定义 $ G(t) = G \cdot I_t $ 与 $ G[t] = G \cdot K_t $，其中 $ I_t $ 为无边图，$ K_t $ 为 $ t $ 个顶点的完全图。
• 证明若小基图 $ G $ 具有有界Hadwiger数，则其放大图在受控扩展下保持该性质。
• 将 $ \epsilon $-Hadwiger 图定义为满足 $ h(G) \leq \epsilon |G| $ 的图，并构造出具有 $ n(\epsilon) = 2^{(1+o(1))\epsilon^{-2}} $ 个顶点的此类图。
• 证明放大图及其补图的Hadwiger数仍为 $ \epsilon $-Hadwiger，从而保证次线性增长。
• 利用放大图中邻接关系可近乎常数时间计算的性质，实现多项式时间内的显式构造。
• 借助Robertson-Seymour定理，证明 $ \epsilon $-Hadwiger 图族是子图封闭的，并由有限个禁止子图唯一刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否显式构造一个在 $ n $ 个顶点上具有 $ o(n) $ Hadwiger 数的稠密图？
• RQ2 能否构造一个图及其补图均具有次线性Hadwiger数？
• RQ3 稠密图中最小Hadwiger数的渐近行为如何？能否显式界定其上界？
• RQ4 分数Hadwiger数与标准团子图数之间有何关系？能否用于推导新界？
• RQ5 是否存在高效构造具有次线团子图的图的方法，且避免使用准随机或随机图结构？

主要发现

• 该论文针对任意 $ \epsilon > 0 $，构造出一个图 $ G $，其顶点数为 $ n(\epsilon) = 2^{(1+o(1))\epsilon^{-2}} $，使得 $ G $ 的所有完全放大图及其补图均为 $ \epsilon $-Hadwiger。
• 此类放大图的Hadwiger数在 $ N $ 个顶点的图上被界定为 $ O(N / \sqrt{\log \log \log N}) $，实现了次线性增长。
• 该构造是显式的，因为邻接关系可近乎常数时间计算，满足多项式时间可计算性标准。
• 该方法表明，小而稠密且Hadwiger数小的图的放大可产生保持该性质的大图，从而实现可扩展构造。
• 引入了分数Hadwiger数，并证明其为分析团子图增长的有力工具，具有潜在的广泛应用前景。
• 结果表明，$ \epsilon $-Hadwiger 图族是子图封闭的，因此根据Robertson-Seymour定理，其由有限个禁止子图唯一刻画。