[论文解读] Constructing Initial Algebras Using Inflationary Iteration

Andrew M. Pitts, S. C. Steenkamp|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 30被引用 1

一句话总结

本文通过一种抽象自序数的'大小'概念，对自函子的初等代数存在性给出了构造性证明，采用膨胀迭代方法，避免使用经典逻辑和选择公理。在弱选择公理WISC成立的前提下，该方法适用于一大类函子——包括涉及商和无限指数的函子——使得在拓扑斯等构造性设定中能够构造初等代数。

ABSTRACT

An old theorem of Adámek constructs initial algebras for sufficiently cocontinuous endofunctors via transfinite iteration over ordinals in classical set theory. We prove a new version that works in constructive logic, using "inflationary" iteration over a notion of size that abstracts from limit ordinals just their transitive, directed and well-founded properties. Borrowing from Taylor's constructive treatment of ordinals, we show that sizes exist with upper bounds for any given signature of indexes. From this it follows that there is a rich class of endofunctors to which the new theorem applies, provided one admits a weak form of choice (WISC) due to Streicher, Moerdijk, van den Berg and Palmgren, and which is known to hold in the internal constructive logic of many kinds of topos.

研究动机与目标

• 开发Adámek的经典初等代数定理的构造性替代方案，该定理依赖于序数上的超限迭代和经典逻辑。
• 解决在构造性设定中构造初等代数的挑战，特别是针对涉及商和无限指数的函子，其中经典选择公理存在问题。
• 证明可以通过一种'大小'概念来构造初等代数，该概念通过仅关注传递性、方向性和良基性来推广序数，从而支持构造性推理。
• 证明弱初始覆盖集（WISC）公理由足以确保足够大的大小的存在性，以支持余极限构造，从而使该方法适用于拓扑斯理论模型中的丰富函子类。
• 为在经典逻辑不成立的构造性拓扑斯中建模具有归纳和商构造的依赖类型理论提供基础。

提出的方法

• 引入一种新的'大小'概念，即作为良基、传递且方向有序的结构，抽象自极限序数，同时保留构造余极限所需的本质属性。
• 定义自函子F在大小κ上的膨胀迭代，在具上确界性的范畴C中构造一个图(Fα0)α∈κ，其中每个Fα0是F在α处迭代应用的结果。
• 利用余极限的普遍性质，定义连接态射iα: Fα0 → Fα+0，确保图中各部分的相容性。
• 证明：若该膨胀迭代的余极限存在，且最终连接态射iα是同构，则(Fα0, iα⁻¹)构成一个初等F-代数。
• 通过受Taylor对序数处理启发的构造性原则，证明对任意给定的指标签名，存在具有上界的大小。
• 应用WISC公理，以确保对任意函子F，存在一个大小κ，使得F保持形状为κ的余极限，从而在不依赖经典选择的前提下实现初等代数的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖选择公理或排中律的构造性逻辑设定中，构造自函子的初等代数？
• RQ2 能否用更一般的'大小'概念替代经典序数上的超限迭代，以保留余极限形成的必要性质，同时适应构造性推理？
• RQ3 何种选择公理足以确保在构造性范畴论中，存在足够大的大小以支持余极限构造？
• RQ4 该构造性方法在多大程度上可应用于涉及无限指数和商构造的非多项式函子？
• RQ5 该方法能否扩展为在更一般的等式系统中，为自由代数提供构造性存在性证明，特别是在拓扑斯中？

主要发现

• 建立了新的构造性定理（定理3.8），表明若自函子F保持形状为κ的余极限，其中κ为某个大小，则F在κ上膨胀迭代的余极限即为初等F-代数。
• 构造中使用的'大小'概念通过聚焦于传递性、方向性和良基性结构，推广了序数，避免了对序数经典性质的依赖。
• 通过构造性方法证明了对任意给定的指标签名，存在具有上界的大小，确保了该方法的广泛适用性。
• 证明了弱初始覆盖集（WISC）公理由足以保证对一大类函子（包括涉及商和无限指数的函子）存在此类大小。
• 该方法避免使用无穷大小∞，因为后者在Agda的大小类型等类型理论中可能导致逻辑不一致，转而通过余极限构造获得初等代数。
• 该方法是 predicative 的，且在具有自然数对象和类型族的初等拓扑斯中有效，使其适用于建模具有归纳和商构造的依赖类型理论。