[论文解读] Constructing Intrinsic Delaunay Triangulations of Submanifolds

Jean‐Daniel Boissonnat, Ramsay Dyer+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2013

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 24被引用 13

一句话总结

本文提出了一种新颖的算法，通过确保采样准则，使在欧氏空间的光滑闭合子流形上构造内在Delaunay三角剖分成为可能，从而保证内在、受限和切线Delaunay复形之间的等价性。该方法避免了测地线距离的计算，其时间复杂度相对于环境维度呈线性关系，并在δ-通用性和ϵ-密度条件下确保输出结果为流形的拓扑正确三角剖分。

ABSTRACT

We describe an algorithm to construct an intrinsic Delaunay triangulation of a smooth closed submanifold of Euclidean space. Using results established in a companion paper on the stability of Delaunay triangulations on $δ$-generic point sets, we establish sampling criteria which ensure that the intrinsic Delaunay complex coincides with the restricted Delaunay complex and also with the recently introduced tangential Delaunay complex. The algorithm generates a point set that meets the required criteria while the tangential complex is being constructed. In this way the computation of geodesic distances is avoided, the runtime is only linearly dependent on the ambient dimension, and the Delaunay complexes are guaranteed to be triangulations of the manifold.

研究动机与目标

• 建立采样准则，以确保在光滑子流形上，内在Delaunay复形与受限和切线Delaunay复形一致。
• 解决仅靠采样密度无法保证内在Delaunay三角剖分的问题，如先前工作中反例所示。
• 设计一种细化算法，在三角剖分过程中构造满足所需δ-通用性和ϵ-密度条件的点集。
• 通过利用与会论文中关于δ-通用点集Delaunay三角剖分稳定性结果，避免依赖点权重策略。
• 确保最终的Delaunay复形是与底层流形同胚的三角剖分，且无需显式计算测地线距离。

提出的方法

• 该算法采用逐步细化过程，通过在流形上的点集中逐次添加点，以满足δ-通用性和ϵ-密度条件。
• 利用基本权重函数和拟球面构型，检测并解决Delaunay复形中不稳定的或不合适的构型。
• 算法在每个单形周围定义一个“选取区域”，在其中插入新点以改善Delaunay性质，并避免出现细长的单形。
• 通过利用幂保护概念以及切空间上的局部欧氏度量，将切线Delaunay复形定义为内在Delaunay结构的局部近似。
• 通过保持稀疏性不变量和优质点不变量，确保算法终止，从而保证有限收敛。
• 理论分析依赖于与会论文中关于Delaunay三角剖分在扰动下稳定性的结果，特别是针对δ-通用点集的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种采样条件下，光滑子流形上的内在Delaunay复形与受限和切线Delaunay复形一致？
• RQ2 为何仅靠采样密度不足以保证有效的内在Delaunay三角剖分？还需要哪些额外的几何条件？
• RQ3 能否设计一种Delaunay细化算法，在不计算测地线距离或使用点权重的情况下，构造此类三角剖分？
• RQ4 如何将切空间中的局部Delaunay三角剖分一致地拼接，以形成全局流形三角剖分？
• RQ5 点集采样需满足何种必要且充分条件，才能确保最终的Delaunay复形是与流形同胚的三角剖分？

主要发现

• 在δ-通用性和ϵ-密度采样条件下，内在Delaunay复形、受限Delaunay复形和切线Delaunay复形是等价的。
• 仅靠采样密度不足以保证有效的内在Delaunay三角剖分，附录A中的反例已证明这一点。
• 该算法保证终止，并在无需显式计算测地线距离的情况下生成流形的Delaunay三角剖分。
• 该算法的运行时间与环境维度N呈线性关系，使其在高维嵌入中依然高效。
• 通过依赖与会论文中关于δ-通用点集的几何稳定性结果，该方法避免了点权重策略。
• 通过结合曲率和可达性估计，对单形周围禁止区域的体积进行了有界控制，确保细化过程总能找到有效的插入点。