[论文解读] Constructing Large Matchings via Query Access to a Maximal Matching Oracle

Sepehr Assadi, Deeparnab Chakrabarty+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 56被引用 3

一句话总结

本文研究了在线性查询和OR查询模型中，图连通性和单元素恢复问题在查询复杂度与自适应轮数之间的权衡。提出了一种确定性O(r)-轮、Õ(n¹⁺¹ᐟʳ)-查询的图连通性算法，使用OR查询，其性能与近乎紧致的下界相匹配；并设计了一种随机化1轮、eO(n)-查询的算法，使用Cross查询，显著优于以往的非自适应方法。

ABSTRACT

Multi-pass streaming algorithm for Maximum Matching have been studied since more than 15 years and various algorithmic results are known today, including 2-pass streaming algorithms that break the 1/2-approximation barrier, and (1-ε)-approximation streaming algorithms that run in O(poly 1/ε) passes in bipartite graphs and in O((1/ε)^(1/ε)) or O(poly (1/ε) ⋅ log n) passes in general graphs, where n is the number of vertices of the input graph. However, proving impossibility results for such algorithms has so far been elusive, and, for example, even the existence of 2-pass small space streaming algorithms with approximation factor 0.999 has not yet been ruled out. The key building block of all multi-pass streaming algorithms for Maximum Matching is the Greedy matching algorithm. Our aim is to understand the limitations of this approach: How many passes are required if the algorithm solely relies on the invocation of the Greedy algorithm? In this paper, we initiate the study of lower bounds for restricted families of multi-pass streaming algorithms for Maximum Matching. We focus on the simple yet powerful class of algorithms that in each pass run Greedy on a vertex-induced subgraph of the input graph. In bipartite graphs, we show that 3 passes are necessary and sufficient to improve on the trivial approximation factor of 1/2: We give a lower bound of 0.6 on the approximation ratio of such algorithms, which is optimal. We further show that Ω(1/ε) passes are required for computing a (1-ε)-approximation, even in bipartite graphs. Last, the considered class of algorithms is not well-suited to general graphs: We show that Ω(n) passes are required in order to improve on the trivial approximation factor of 1/2.

研究动机与目标

• 理解在线性查询和OR查询模型中，图连通性和单元素恢复问题在自适应轮数与查询复杂度之间的权衡。
• 在OR查询模型中，为确定性和随机化算法建立紧致下界。
• 设计使用自然图查询模型（如Cross和BIS查询）的图连通性高效算法。
• 通过研究这些模型中的基础问题，建立查询复杂度、压缩感知、流处理与稀疏编码之间的联系。

提出的方法

• 通过结构化查询访问，将图连通性问题新颖地约化为单元素恢复问题。
• 通过自适应子集查询模拟连通性检测，设计了一种使用OR查询的确定性r轮图连通性算法。
• 采用一种使用Cross查询的随机化1轮算法，通过高效采样边割来检测连通性。
• 通过信息论论证和组合群测试中已知难题的约化，证明了紧致下界。
• 应用压缩感知和硬币称重技术，分析单元素恢复问题的线性查询复杂度。
• 采用递归划分策略，每轮减少搜索空间，从而最小化各轮的查询使用量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在OR查询模型中，求解图连通性问题的确定性算法，其自适应轮数与查询复杂度之间的最优权衡是什么？
• RQ2 随机化算法能否在单轮内使用OR或Cross查询实现次线性查询复杂度来解决图连通性问题？
• RQ3 在使用线性和OR查询的r轮确定性和随机化设置下，单元素恢复的查询复杂度是多少？
• RQ4 在图连通性问题中，Cross和BIS查询相较于一般OR和线性查询，其表达能力如何？
• RQ5 这些结果能否推广到空间和遍历次数受限的动态或半流式设置？

主要发现

• 使用OR查询的确定性r轮图连通性算法需要Õ(n¹⁺¹ᐟʳ)次查询，且该复杂度近乎紧致，因为存在˜Ω(n¹⁺¹ᐟʳ)的下界。
• 使用Cross查询的随机化1轮算法仅需eO(n)次查询，显著优于以往的非自适应方法。
• 对于单元素恢复，任何r轮确定性算法在某一轮中必须至少使用(N¹ᐟʳ − 1)次线性查询，该下界与上界匹配。
• 存在一种使用O(polylog(N))次查询的随机化1轮单元素恢复算法，显示出相对于确定性方法的显著优势。
• 本研究证明，任何1轮随机化算法在图连通性问题中至少需要eΩ(n²)次OR查询，凸显了自适应性的强大能力。
• 结果表明，可构造新的确定性半流式算法，在O(log n)轮内以O(n¹⁺¹ᐟʳ)空间维护生成森林。