[论文解读] Constructing Likelihood Functions for Interval-valued Random Variables

Xin Zhang, Boris Béranger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2016

Neural Networks and Applications参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文通过建模潜在的实值数据生成过程，提出了一种基于似然的区间数据推断框架，实现了从区间汇总数据直接拟合参数模型。该方法通过利用顺序统计量和聚合机制推导出精确似然，克服了现有方法中对区间内均匀性的假设限制，在模拟和真实数据中均展现出更优的推断精度。

ABSTRACT

There is a growing need for the ability to analyse interval-valued data. However, existing descriptive frameworks to achieve this ignore the process by which interval-valued data are typically constructed; namely by the aggregation of real-valued data generated from some underlying process. In this article we develop the foundations of likelihood based statistical inference for random intervals that directly incorporates the underlying generative procedure into the analysis. That is, it permits the direct fitting of models for the underlying real-valued data given only the random interval-valued summaries. This generative approach overcomes several problems associated with existing methods, including the rarely satisfied assumption of within-interval uniformity. The new methods are illustrated by simulated and real data analyses.

研究动机与目标

• 解决缺乏能够考虑真实数据生成过程的稳健统计推断方法的问题，以应对区间数据的分析需求。
• 克服符号数据分析中常见但常缺乏依据的区间内均匀性假设。
• 开发一种基于似然的框架，使模型能够直接从区间汇总数据中拟合，而无需依赖个体层面的数据。
• 提供一种生成式区间数据分析方法，以保持统计效率和准确性。
• 将标准似然理论扩展至处理由聚合实值数据导出的区间观测数据。

提出的方法

• 将区间数据视为潜在实值观测的汇总，假设已知数据聚合机制（例如，最小值/最大值、分位数）。
• 通过在潜在数据点的联合分布上积分，推导出区间观测的精确似然函数。
• 利用顺序统计量和多重积分，计算 m 个实值观测落在指定区间边界内的概率。
• 将似然表示为边界点与内部点组合配置的求和，涵盖所有可能形成区间边界的方式。
• 通过联合密度函数和累积分布函数，推导出不同聚合函数（如最小值/最大值、第一和第三四分位数）下的似然闭式表达式。
• 将该框架应用于正态分布和均匀分布等参数模型，实现从区间汇总数据出发的最大似然估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅能获得区间汇总数据而无法假设区间内均匀性时，如何构建基于似然的区间数据推断？
• RQ2 由潜在实值数据生成过程导出的区间观测的精确似然函数是什么？
• RQ3 所提出的方法与假设区间内均匀性的标准符号数据分析方法相比表现如何？
• RQ4 在存在聚合和测量不确定性的情况下，该方法能否准确恢复潜在模型参数（如均值、尺度）？
• RQ5 使用不同聚合函数（如最小值/最大值与四分位数）对最终似然函数和推断质量有何影响？

主要发现

• 所提出的似然框架即使在复杂聚合机制下，也能从区间汇总数据中以极小偏差成功恢复真实模型参数（如 μ=0, σ=2）。
• 模拟结果表明，当使用生成似然时，对来自均匀分布的区间数据拟合正态模型可获得准确估计，优于标准基于均匀性假设的方法。
• 拟合优度良好，当使用正确的聚合函数时，Q-Q 图与恒等线高度一致。
• 在似然推导中包含边界点配置显著提升了估计精度，优于忽略此类配置的近似方法。
• 该框架对 5% 的异常值具有鲁棒性，在数据污染下仍能保持稳定的参数估计。
• m 个观测值在二维区间中的似然表达式包含组合项，涵盖所有可能由潜在数据点形成区间边界的方式。