[论文解读] Constructing Orthogonal Latin Squares from Linear Cellular Automata

Luca Mariot, Enrico Formenti+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2016

graph theory and CDMA systems参考文献 7被引用 4

一句话总结

本论文提出一种利用线性细胞自动机（CA）生成相互正交拉丁方（MOLS）的方法，证明了当且仅当其关联多项式互素时，两个线性CA可生成阶为 $ q^m $ 的正交MOLS。该构造利用从CA转移矩阵导出的西尔维斯特矩阵，为基于CA的组合设计提供了一种新方法，从而实现具有无限制访问结构的门限秘密共享方案。

ABSTRACT

We undertake an investigation of combinatorial designs engendered by cellular automata (CA), focusing in particular on orthogonal Latin squares and orthogonal arrays. The motivation is of cryptographic nature. Indeed, we consider the problem of employing CA to define threshold secret sharing schemes via orthogonal Latin squares. We first show how to generate Latin squares through bipermutive CA. Then, using a characterization based on Sylvester matrices, we prove that two linear CA induce a pair of orthogonal Latin squares if and only if the polynomials associated to their local rules are relatively prime.

研究动机与目标

• 开发一种基于CA的正交拉丁方（MOLS）构造方法，以支持门限秘密共享方案。
• 克服先前基于CA的秘密共享方案中顺序访问的局限性，实现无限制访问结构。
• 表征成对线性CA生成正交MOLS的条件。
• 建立CA设计与正交数组（OA）等组合对象之间的联系，通过多项式互素性实现。
• 提供一种实用框架，通过CA演化和矩阵求逆来生成秘密共享中的份额。

提出的方法

• 在有限域 $ \mathbb{F}_q $ 上，基于半径为 $ r $、长度为 $ 2m $ 的双置换线性CA构造拉丁方，其中 $ m $ 是 $ 2r $ 的倍数。
• 通过其局部规则导出的转移矩阵，将线性CA的全局规则表示为线性变换。
• 通过拼接两个线性CA的转移矩阵，构造一个西尔维斯特矩阵，该矩阵决定所诱导拉丁方的正交性。
• 证明所生成的拉丁方正交当且仅当西尔维斯特矩阵可逆，即关联多项式的结式非零。
• 利用结式条件表明，正交性恰好在与CA局部规则相关的多项式互素时成立。
• 通过从秘密加随机向量配置演化CA实现秘密共享，其中份额通过CA迭代获得，通过求逆互素规则的西尔维斯特矩阵实现恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个线性细胞自动机可生成一对正交拉丁方？
• RQ2 如何代数表征由线性CA生成的拉丁方的正交性？
• RQ3 多项式互素在确保CA诱导的拉丁方正交性中起什么作用？
• RQ4 能否利用此构造设计出具有无限制访问结构的基于CA的门限秘密共享方案？
• RQ5 如何通过CA演化和矩阵求逆高效计算和重构此类方案中的份额？

主要发现

• 两个线性细胞自动机生成阶为 $ q^m $ 的正交拉丁方当且仅当其局部规则相关多项式互素。
• 正交性条件等价于由两个CA的转移矩阵构成的西尔维斯特矩阵可逆。
• 通过选择 $ n $ 个两两互素的 $ 2r $ 次多项式（其中 $ 2r $ 整除 $ m $），该构造可生成 $ n $ 个相互正交的拉丁方，阶为 $ q^m $。
• 基于此构造的秘密共享方案支持门限 $ t=2 $，任意两名参与者可利用其份额和西尔维斯特矩阵的逆恢复秘密。
• 恢复阶段涉及对两个互素多项式的西尔维斯特矩阵求逆，并将其与拼接的份额相乘，以恢复秘密和随机向量。
• 该方法提供了一种系统且高效的方法，用于生成具有信息论安全性和灵活访问控制的基于CA的秘密共享方案。