[论文解读] Constructing Piecewise-Polynomial Lyapunov Functions on Convex Polytopes Using Handelman's Basis

Reza Kamyar, Chaitanya Murti+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2014

Gene Regulatory Network Analysis被引用 1

一句话总结

本文提出了一种新颖的凸优化方法，用于在凸多面体上构造分段多项式李雅普诺夫函数，以实现对多项式非线性系统的稳定性分析。通过在平衡点周围分解多面体并应用Handelman定理，该方法将非负性条件表述为可解的仿射可行性条件，可通过线性规划求解，相较于平方和（sum-of-squares）或Polya-based方法，其在高维、高次系统中具有更低的计算复杂度。

ABSTRACT

In this paper, we propose a new convex approach to stability analysis of nonlinear systems with polynomial vector fields. First, we consider an arbitrary convex polytope that contains the equilibrium in its interior. Then, we decompose the polytope into several convex sub-polytopes with a common vertex at the equilibrium. Then, by using Handelman's theorem, we derive a new set of affine feasibility conditions -solvable by linear programming- on each sub-polytope. Any solution to this feasibility problem yields a piecewise polynomial Lyapunov function on the entire polytope. This is the first result which utilizes Handelman's theorem and decomposition to construct piecewise polynomial Lyapunov functions on arbitrary polytopes. In a computational complexity analysis, we show that for large number of states and large degrees of the Lyapunov function, the complexity of the proposed feasibility problem is less than the complexity of certain semi-definite programs associated with alternative methods based on Sum-of-Squares or Polya's theorem. Using different types of convex polytopes, we assess the accuracy of the algorithm in estimating the region of attraction of the equilibrium point of the reverse-time Van Der Pol oscillator.

研究动机与目标

• 开发一种计算高效的李雅普诺夫函数构造方法，用于多项式非线性系统。
• 解决高维系统中高次多项式向量场的稳定性分析挑战。
• 与现有的平方和（sum-of-squares）或Polya-based方法相比，降低计算复杂度。
• 通过凸多面体域实现对吸引域的精确估计。
• 将Handelman定理的应用扩展至任意凸多面体上的分段多项式李雅普诺夫函数构造。

提出的方法

• 该方法首先选择一个包含平衡点在其内部的凸多面体。
• 将该多面体分解为多个共享平衡点作为公共顶点的凸子多面体。
• 在每个子多面体上，应用Handelman定理，利用非负多项式基表达非负性条件。
• 为每个子多面体推导出仿射可行性条件，使其可通过线性规划求解。
• 可行性问题的解生成在整个多面体上连续的分段多项式李雅普诺夫函数。
• 该方法确保了凸性与可扩展性，适用于具有大量状态和高次李雅普诺夫函数的系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 Handelman定理能否有效应用于在任意凸多面体上构造分段多项式李雅普诺夫函数？
• RQ2 对于高维系统，该方法是否相比平方和（sum-of-squares）或Polya-based方法具有更低的计算复杂度？
• RQ3 利用该分段多项式李雅普诺夫函数构造方法，对吸引域的估计精度如何？
• RQ4 多面体的几何形状与分解方式对稳定性估计的保守性有何影响？
• RQ5 该方法能否系统性地应用于如反向时间Van der Pol振子等非线性系统？

主要发现

• 与平方和（sum-of-squares）或Polya-based方法相比，该方法在具有大量状态和高次李雅普诺夫函数的系统中显著降低了计算复杂度。
• 可行性问题通过线性规划求解，使得大规模系统的高效计算成为可能。
• 该方法成功在任意凸多面体上构造出以平衡点为公共顶点的连续分段多项式李雅普诺夫函数。
• 该方法对反向时间Van der Pol振子在不同类型的多面体上均提供了准确的吸引域估计。
• Handelman基使得子多面体上非负性条件的系统化与凸化表述成为可能，确保了可解性。
• 分解策略相比全局多项式方法提高了灵活性，并降低了稳定性分析中的保守性。