[论文解读] Constructing quantum error-correcting codes for p^m-state systems from classical error-correcting codes

Ryutaroh Matsumoto, Tomohiko Uyematsu|ArXiv.org|Nov 4, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用 15

一句话总结

本文将基于 F₄ 的量子纠错码构造方法从比特系统推广至 p^m 量子态系统，采用 F_{p^{2m}} 上的加法码。该工作建立了一套系统化方法，从经典线性码导出 [[n,k,d]]_{p^m} 量子码，提出基于校验的纠错程序，并通过适配删失码与错误-删除译码的经典算法，实现高效译码。

ABSTRACT

We generalize the construction of quantum error-correcting codes from GF(4)-linear codes by Calderbank et al. to p^m-state systems. Then we show how to determine the error from a syndrome. Finally we discuss a systematic construction of quantum codes with efficient decoding algorithms.

研究动机与目标

• 将 Calderbank-Shor-Steane (CSS) 量子码构造方法从比特系统（2 个层级）推广至具有 p^m 个层级的高维量子系统（qudit 系统）。
• 在有限域上的经典线性码与 p^m 量子态系统上的量子码之间建立系统化联系。
• 基于误差群结构与正交子空间，提出一种系统化的基于校验的纠错程序。
• 通过将经典错误-删除译码技术适配至删失码，实现量子码的高效译码算法。
• 推广 Hartmann-Tzeng 与受限移位等界在基于经典码构造的量子码中对最小距离的估计应用。

提出的方法

• 利用 F_{p^{2m}} 上的加法码，构建 p^m 量子态系统的量子码，推广 Calderbank 等人基于 F₄ 的构造方法。
• 通过 F_p^{2mn} 中向量 (a|b) 对应的算符 X(a)Z(b) 生成阿贝尔子群 S，定义稳定子码，并使用特定的交错内积。
• 利用交错内积下的正交补 C^⊥ 确保稳定子为阿贝尔群，且码能正确编码 k 个逻辑量子态。
• 通过域同构 P_{2m} 将 F_{p^{2m}}-线性泛函映射为 F_p-线性泛函，实现 F_p 上的经典译码。
• 通过删失原始经典码并利用校验与线性组合重构错误，将经典错误-删除译码算法适配至量子码。
• 采用经修改的 Berlekamp-Massey 与 Feng-Rao 算法（适用于错误-删除译码），以实现 Hartmann-Tzeng 或受限移位等界所允许的纠错能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将基于经典码的量子纠错码构造方法，从基于 F₄ 的比特系统推广至具有 p^m 个层级的量子系统？
• RQ2 应采用何种有限域结构与内积，以确保稳定子群为阿贝尔群并具备正确的错误检测能力？
• RQ3 如何基于经典译码算法，系统化地实现 p^m 量子态系统中基于校验的纠错？
• RQ4 在缺乏经典接收码字的情况下，对删失量子码进行译码时，经典译码算法需作何修改？
• RQ5 Hartmann-Tzeng 或受限移位等界是否可用于估计量子码的最小距离，并提升其纠错性能？

主要发现

• 本文从 F_p^{2mn} 中维度为 (mn - mk) 的 F_p-线性码 C ⊆ F_p^{2mn} 构造出 [[n,k,d]]_{p^m} 量子码，其中 C ⊆ C^⊥ 关于交错内积成立，且 d 为 C^⊥ ∖ C 中元素的最小权重。
• 由 X(a_i)Z(b_i) 生成的稳定子群 S 为阿贝尔群，其特征子空间构成有效的量子码，可在 n 个量子系统中编码 k 个逻辑量子态。
• 通过同构 P_{2m} 将校验映射为 F_p^{2mn} 中的经典错误向量，实现基于经典算法的译码。
• 利用删失经典码，即使无经典接收码字，亦可将经典错误-删除译码算法应用于量子码。
• 通过应用 Hartmann-Tzeng 或受限移位界，可更准确估计最小距离 d，从而纠正超过 BCH 界允许的错误数。
• 该方法可利用经修改的 Feng-Rao 算法实现高效译码，该算法可处理已知删失位置（如由删失产生）的错误-删除译码。