[论文解读] Constructing regular ultrafilters from a model-theoretic point of view

M. Malliaris, Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文研究了正则超滤子的模型论性质，重点关注不稳定理论的饱和性以及集合论约束与模型论强度之间的相互作用。它在满足 $\lambda \geq 2^\kappa$ 的条件下，构造了一个可测基数 $\kappa$ 上的正则超滤子，该超滤子具有灵活性但非良性质，具有较高的 $\operatorname{lcf}(\aleph_0)$，却无法实现随机图的饱和性，从而解决了凯斯勒序中关于超滤子性质层次结构的关键问题。

ABSTRACT

This paper contributes to the set-theoretic side of understanding Keisler's order. We consider properties of ultrafilters which affect saturation of unstable theories: the lower cofinality $\lcf(\aleph_0, \de)$ of $\aleph_0$ modulo $\de$, saturation of the minimum unstable theory (the random graph), flexibility, goodness, goodness for equality, and realization of symmetric cuts. We work in ZFC except when noted, as several constructions appeal to complete ultrafilters thus assume a measurable cardinal. The main results are as follows. First, we investigate the strength of flexibility, detected by non-low theories. Assuming $κ> \aleph_0$ is measurable, we construct a regular ultrafilter on $λ\geq 2^κ$ which is flexible (thus: ok) but not good, and which moreover has large $\lcf(\aleph_0)$ but does not even saturate models of the random graph. We prove that there is a loss of saturation in regular ultrapowers of unstable theories, and give a new proof that there is a loss of saturation in ultrapowers of non-simple theories. Finally, we investigate realization and omission of symmetric cuts, significant both because of the maximality of the strict order property in Keisler's order, and by recent work of the authors on $SOP_2$. We prove that for any $n < ω$, assuming the existence of $n$ measurable cardinals below $λ$, there is a regular ultrafilter $D$ on $λ$ such that any $D$-ultrapower of a model of linear order will have $n$ alternations of cuts, as defined below. Moreover, $D$ will $λ^+$-saturate all stable theories but will not $(2^κ)^+$-saturate any unstable theory, where $κ$ is the smallest measurable cardinal used in the construction.

研究动机与目标

• 澄清凯斯勒序中超滤子性质（灵活性、良性质、饱和性）的层次结构，特别是针对不稳定理论。
• 研究灵活性在多大程度上蕴含良性质或饱和性，特别是在可测基数的背景下。
• 解决集合论与模型论中的长期开放问题，包括“ok”是否蕴含“good”以及非低理论是否蕴含凯斯勒序中的极大性。
• 分析线性序的超幂中对称割的实现与省略，将其与严格顺序性质及 $SOP_2$ 联系起来。
• 证明在正则超滤子下，不稳定与非简单理论的超幂中会发生饱和性损失，确立精确的饱和性界限。

提出的方法

• 在 $\lambda \geq 2^\kappa$ 上构造一个正则超滤子，利用大于 $\aleph_0$ 的可测基数 $\kappa$，通过 $\kappa$-完备但非 $\kappa^+$-完备的超滤子确保灵活性。
• 使用 $L_{\kappa,\kappa}$ 的洛斯定理和 $\kappa$-完备性，分析超幂中类型实现与割行为。
• 通过从 $\mathcal{P}_{\aleph_0}(\lambda)$ 到超滤子的函数的乘法精化，构造非标准元素之下的正则化族。
• 应用 $\lambda$-灵活性与 $\lambda$-OK 的概念，证明灵活性与此类正则化族存在的等价性。
• 通过构造 $\kappa$-完备超滤子，分析线性序超幂中的对称割，并证明在 $n$ 个可测基数下存在 $n$ 次割的交替。
• 证明饱和性界限：当 $\mathcal{D}$ 是 $\kappa$ 上的正则超滤子时，$M^\kappa / \mathcal{D}$ 不是 $(2^\kappa)^+$-饱和的，且当 $M$ 为非简单理论时，$M^\lambda / \mathcal{D}$ 不是 $\lambda^{++}$-饱和的。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅凭灵活性是否能蕴含任何不稳定理论的饱和性？能否将其与良性质和饱和性分离？
• RQ2 能否构造一个正则超滤子，使其具有灵活性但非良性质，即使 $\operatorname{lcf}(\aleph_0)$ 较高，且无法实现随机图的饱和性？
• RQ3 在 ZFC 中，'ok'（灵活性）是否蕴含 'good'？还是该命题独立，特别是在可测基数下？
• RQ4 在正则超滤子下，不稳定与非简单理论的超幂的精确饱和行为如何？
• RQ5 在 $\kappa$-完备与正规超滤子下，线性序的超幂中对称割的行为如何？其与 $SOP_2$ 的关系是什么？

主要发现

• 对于大于 $\aleph_0$ 的可测基数 $\kappa$，在满足 $\lambda \geq 2^\kappa$ 的条件下，存在一个正则超滤子，其具有灵活性但非良性质，且 $\operatorname{lcf}(\aleph_0) = \kappa$，但无法实现随机图的饱和性。
• 该构造表明，仅凭灵活性无法表征任何理论的饱和性，从而解决了证明非低理论不蕴含凯斯勒序中极大性的关键障碍。
• 一致地，在 ZFC 中 'ok' 不蕴含 'good'，解决了 Dow（1985）提出的问题，通过利用可测基数将灵活性与良性质分离。
• 对于任意不稳定理论 $T$，当 $\mathcal{D}$ 是 $\kappa$ 上的正则超滤子时，$M^\kappa / \mathcal{D}$ 不是 $(2^\kappa)^+$-饱和的，确立了精确的饱和性界限。
• 对于非简单理论 $T$ 且 $\lambda = \lambda^{<\lambda}$，$M^\lambda / \mathcal{D}$ 不是 $\lambda^{++}$-饱和的，证明了在非简单理论中饱和性的损失。
• 对于任意 $n < \omega$，若在 $\lambda$ 之下存在 $n$ 个可测基数，则存在一个 $\lambda$ 上的正则超滤子 $D$，使得任意 $D$-超幂的线性序具有 $n$ 次割的交替，且 $D$ $\lambda^+$-饱和所有稳定理论，但不饱和任何不稳定理论。