[论文解读] Constructing unextendible product bases from the old ones

Yanling Wang, Mao-Sheng Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过组合正交子系统的已知UPB，在两体和多体量子系统中构造无扩展产品基（UPB）。它证明了在 $Χ^{m} × Χ^{n_1}$ 和 $Χ^{m} × Χ^{n_2}$ 中的UPB的并集构成了 $Χ^{m} × Χ^{n_1+n_2}$ 中的UPB，从而实现了在 $Χ^{n} × Χ^{n}$ 中缺失态数从4到 $n^2/2$ 的UPB构造，以及在 $Χ^{m} × Χ^{n}$ 中（$m \geq 4, n \geq 10$）缺失态数从4到 $(m-1)(n-8)$ 的构造，并将该方法推广至多体系统。

ABSTRACT

We studied the construction problem of the unextendible product basis (UPB). We mainly give a method to construct a UPB of a quantum system through the UPBs of its subsystem. Using this method and the UPBs which are known for us, we construct different kinds of UPBs in general bipartite quantum system. Then we use these UPBs to construct a family of UPBs in multipartite quantum system. The UPBs can be used to construct the bound entangled states with different ranks.

研究动机与目标

• 开发一种从量子系统中现有UPB出发构造新UPB的一般性方法。
• 将已知的UPB构造方法扩展至高维两体系统，实现对缺失态数的可控构造。
• 通过将两体UPB作为构建模块，将构造方法推广至多体量子系统。
• 通过这些新型UPB结构，实现生成具有不同秩的束缚纠缠态。

提出的方法

• 该方法将来自两个正交子系统 $\u03a7^{m} \otimes \u03a7^{n_1}$ 和 $\u03a7^{m} \otimes \u03a7^{n_2}$ 的UPB组合，形成 $\u03a7^{m} \otimes \u03a7^{n_1+n_2}$ 中的UPB。
• 证明了若子系统正交且原始集合不可扩展，则来自不相交子系统的UPB的并集仍为UPB。
• 该构造采用递归方法：对于目标缺失态数 $m$，将其分解为 $m = qL + r$，并组合 $q$ 个具有 $L$ 个缺失态的UPB和一个具有 $r$ 个缺失态的UPB。
• 应用引理3，确保低维系统中UPB的张量积在高维系统中仍保持不可扩展性。
• 该方法通过在多个子系统上迭代应用构造过程，推广至多体系统。
• 通过已知在 $N$-体系统中存在缺失态数从4到 $L$ 的UPB，该方法可生成在 $N+1$-体系统中缺失态数从4到 $d_{N+1}L$ 的UPB。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以系统性地从更大量子系统中正交子系统的现有UPB出发构造新的UPB？
• RQ2 使用该构造方法，在 $\u03a7^{n} \otimes \u03a7^{n}$ 中可实现的缺失态数范围是什么？
• RQ3 该方法是否能在一般两体系统 $\u03a7^{m} \otimes \u03a7^{n}$（$m \geq 4, n \geq 10$）中生成缺失态数连续分布的UPB？
• RQ4 如何利用两体系统中的UPB生成多体系统中的UPB？
• RQ5 是否能够弥合高维系统中最小UPB大小与构造出的大小之间的差距？

主要发现

• 在 $\u03a7^{n} \otimes \u03a7^{n}$ 中，该方法可构造缺失态数从4到 $n^2/2$ 的UPB。
• 对于 $\u03a7^{m} \otimes \u03a7^{n}$（$m \geq 4$ 且 $n \geq 10$），该方法可生成缺失态数从4到 $(m-1)(n-8)$ 的UPB。
• 该构造通过保持子系统间正交性和不可扩展性，确保结果集合仍为无扩展产品基。
• 该方法可在给定 $N$-体系统中存在缺失态数从4到 $L$ 的UPB的前提下，生成 $N+1$-体系统中缺失态数从4到 $d_{N+1}L$ 的UPB。
• 结果提供了一种系统化方法，通过利用所构造的UPB生成具有不同秩的束缚纠缠态。
• 本文识别出最小可能UPB大小与构造出的大小之间存在差距，表明在构造具有中间缺失态数的UPB方面仍有进一步改进的空间。