[论文解读] Construction and analysis of sticky reflected diffusions

Martin Grothaus, Robert Voßhall|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 3被引用 3

一句话总结

该论文使用Dirichlet型技术在ℝᵈ中有界区域上构造了粘性反射扩散过程，使得扩散过程在边界Γ上停留正时间，并可通过表面SDE沿边界演化。关键贡献在于证明该过程是带有Wentzell型边界条件的Stratonovich SDE的弱解，并在边界和系数的弱正则性假设下建立了其遍历性与𝒮ᴸᵖ-强Feller性质。

ABSTRACT

We give a Dirichlet form approach for the construction of distorted Brownian motion in a bounded domain $Ω$ of $\mathbb{R}^d$, $d \geq 1$, with boundary $Γ$, where the behavior at the boundary is sticky. The construction covers the case of a static boundary behavior as well as the case of a diffusion on the hypersurface $Γ$ (for $d \geq 2)$. More precisely, we consider the state space $\overlineΩ=Ω\stackrel{.}{\cup} Γ$, the process is a diffusion process inside $Ω$, the occupation time of the process on the boundary $Γ$ is positive and the process may diffuse on $Γ$ as long as it sticks on the boundary. The problem is formulated in an $L^2$-setting and the construction is formulated under weak assumptions on the coefficients and $Γ$. In order to analyze the process we assume a $C^2$-boundary and some weak differentiability conditions. In this case, we deduce that the process is also a solution to a given SDE for quasi every starting point in $\overlineΩ$ with respect to the underyling Dirichlet form. Under the addtional condition that $\{ \varrho =0 \}$ is of capacity zero, we prove ergodicity of the constructed process and consequently, we verify that the boundary behavior is indeed sticky. Moreover, we show ($\mathcal{L}^p$-)strong Feller properties which allow to characterize the constructed process even for every starting point in $\overlineΩ \backslash \{ \varrho=0\}$.

研究动机与目标

• 在有界区域Ω ⊂ ℝᵈ的闭包上构造一个在∂Ω = Γ处具有粘性边界行为的扩散过程。
• 将扭曲Browian运动的框架扩展至包含非平凡的边界动力学，包括当δ=1时沿边界的扩散。
• 严格证明该过程是带有Wentzell型边界条件的Stratonovich SDE的弱解。
• 在{ϱ=0}具有零容量的条件下，证明该过程的遍历性，从而确认其边界行为的粘性特征。
• 建立𝒮ᴸᵖ-强Feller性质，使得对所有起始于Ω̅∖{ϱ=0}的初始点均可实现过程的路径特征刻画。

提出的方法

• 在L²(Ω̅; μ)上采用Dirichlet型方法，其中μ = ϱ(λ + σ)为赋值给边界Γ的质量测度。
• 在系数α, β和边界Γ的弱假设下，在L²(Ω̅; μ)上构造Dirichlet型(ℰ, D(ℰ))。
• 施加C²边界条件和弱可微性假设，以推导正则性并求解相关的鞅问题。
• 通过将生成元与包含内部漂移、边界漂移及法向反射项的Stratonovich SDE识别，推导出SDE表示形式。
• 应用[BGS13]中的结果，通过验证定义域中局部连续性和点分离序列，建立𝒮ᴸᵖ-强Feller性质。
• 使用随机时间变换将粘性过程与反射扩散联系起来，支持强解不存在的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在系数和边界具有弱正则性假设的条件下，能否通过Dirichlet型方法严格构造具有边界扩散的粘性反射扩散过程？
• RQ2 所构造的过程是否为带有Wentzell型边界条件的Stratonovich SDE的弱解，对Ω̅中准处处的起始点成立？
• RQ3 在{ϱ=0}具有零容量的条件下，该过程是否表现出真正的粘性行为，即在边界上具有正的长期占用时间？
• RQ4 该过程的转移半群具有何种正则性性质，如强Feller或𝒮ᴸᵖ-强Feller性质？
• RQ5 即使边界在某些地方不光滑，是否也能对Ω̅∖{ϱ=0}中每个起始点实现过程的路径特征刻画？

主要发现

• 所构造的过程对底层Dirichlet型下Ω̅中准处处的起始点，是Stratonovich SDE (1.1)的弱解。
• 在{ϱ=0}具有零容量的假设下，该过程是遍历的，通过在Γ上具有正的长期占用时间，确认了其粘性边界行为。
• 转移半群(pₜ)ₜ>0是𝒮ᴸᵖ-强Feller，意味着pₜ将Lᵖ(Ω̅; μ)映射到C(Ω̅)，特别地，将有界可测函数映射为连续函数。
• 该过程在Ω̅₁ = Ω̅ ∖ {ϱ=0}上是强Feller，使得该集合中所有起始点均可实现路径特征刻画。
• 在L²(Ω̅; μ)上，Dirichlet型(ℰ, D(ℰ))与该过程相关联，并满足[FOT11]中的绝对连续性条件，确保遍历性结果可推广至L²(Ω̅; μ)设定。
• 该构造是最优的，因为强解不存在，与已知的粘性Browian运动作为时间缩放反射扩散极限的结果一致。