[论文解读] Construction and application of algebraic dual polynomial representations for finite element methods

Varun Jain, Yi Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在有限元方法中系统构造代数对偶多项式基的通用方法，实现了对狄利克雷问题和诺伊曼问题的精确混合格式。该方法表明，有限元近似在任意网格上均满足恒等式 $\phi^h = \text{div}\, \mathbf{q}^h$，并确保约束和拉格朗日乘子的离散化与网格尺寸、形状及多项式次数无关。

ABSTRACT

Given a polynomial basis $\Psi_i$ which spans the polynomial vector space $\mathcal{P}$, this paper addresses the construction and use of the algebraic dual space $\mathcal{P}'$ and its canonical basis. Differentiation of dual variables will be discussed. The method will be applied to a Dirichlet and Neumann problem presented in \cite{CarstensenDemkowiczGopalakrishnan} and it is shown that the finite dimensional approximations satisfy $\phi^h = \mbox{div}\, \mathbf{q}^h$ on any grid. The dual method is also applied to a constrained minimization problem, which leads to a mixed finite element formulation. The discretization of the constraint and the Lagrange multiplier will be independent of the grid size, grid shape and the polynomial degree of the basis functions.

研究动机与目标

• 为有限元方法中给定的多项式基 $\Psi_i$ 系统地构造其代数对偶空间 $\mathcal{P}'$。
• 通过确保离散解在任意网格上满足 $\phi^h = \text{div}\, \mathbf{q}^h$，实现精确的混合有限元格式。
• 使约束和拉格朗日乘子的离散化与网格几何及多项式次数解耦，提升鲁棒性。
• 提供一种对偶变量求导的框架，支持混合方法中的高阶精度。

提出的方法

• 构造多项式空间 $\mathcal{P}$（由 $\Psi_i$ 张成）的代数对偶基 $\mathcal{P}'$，确保双正交性。
• 将对偶基应用于混合有限元格式，尤其适用于具有狄利克雷和诺伊曼边界条件的问题。
• 推导并应用对偶变量的求导规则，以在弱格式中保持一致性。
• 利用对偶空间求解约束最小化问题，从而得到约束离散化独立的混合格式。
• 确保约束及其关联的拉格朗日乘子的离散化在网格尺寸和形状改变下保持不变。
• 证明所得的有限元近似在任意网格上恒等满足 $\phi^h = \text{div}\, \mathbf{q}^h$，与网格结构无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在有限元方法中系统地构造给定多项式基 $\Psi_i$ 的代数对偶多项式基？
• RQ2 对偶基格式能否确保 $\phi^h = \text{div}\, \mathbf{q}^h$ 在任意非结构化网格上精确成立？
• RQ3 约束和拉格朗日乘子的离散化在多大程度上可实现与网格尺寸和形状的解耦？
• RQ4 如何在混合有限元格式中一致地定义并应用对偶变量的求导？
• RQ5 在混合有限元方法中，使用对偶多项式基对约束最小化问题有何影响？

主要发现

• 所构造的代数对偶基确保有限元解在任意网格上恒等满足 $\phi^h = \text{div}\, \mathbf{q}^h$，与网格结构无关。
• 该方法实现了约束和拉格朗日乘子的网格不变离散化，与网格尺寸、形状及多项式次数无关。
• 对偶变量的求导被一致定义并整合到变分格式中，保持了精度。
• 由对偶基导出的混合有限元格式在给定条件下保持最优收敛性。
• 该方法利用同一套对偶框架，为狄利克雷问题和诺伊曼问题均提供了鲁棒且一致的混合格式。
• 该框架支持约束最小化问题，实现稳定且独立的约束离散化，增强了数值可靠性。