[论文解读] Construction and classification of diffeomorphism-invariant non-commutative Seiberg--Witten gravities

S. Mârculescu, F. Ruiz Ruiz|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2008

Cosmology and Gravitation Theories被引用 1

一句话总结

该论文通过SO(1,3)规范对称性的Seiberg-Witten映射，构建了一类微分同胚不变的非交换引力理论，其形变参数为协变常量的$ heta^{ u}(x)$。通过在法坐标系中施加四维标架假设并引入宇宙学常数，经典作用量成为$ heta^{ u}$的微分同胚不变幂级数，显式二阶贡献表明：在二阶近似下，仅可允许可分解为两个二维分量的四维度规，从而产生一类形变的涌现引力。

ABSTRACT

A family of diffeomorphism-invariant Seiberg--Witten deformations of gravity is constructed. In a first step Seiberg--Witten maps for an SO(1,3) gauge symmetry are obtained for constant deformation parameters. This includes maps for the vierbein, the spin connection and the Einstein--Hilbert Lagrangian. In a second step the vierbein postulate is imposed in normal coordinates and the deformation parameters are identified with the components $ heta^{\mu u}(x)$ of a covariantly constant bivector. This procedure gives for the classical action a power series in the bivector components which by construction is diffeomorphism-invariant. Explicit contributions up to second order are obtained. For completeness a cosmological constant term is included in the analysis. Covariant constancy of $ heta^{\mu u}(x) $, together with the field equations, imply that, up to second order, only four-dimensional metrics which are direct sums of two two-dimensional metrics are admissible, the two-dimensional curvatures being expressed in terms of $ heta^{\mu u}$. These four-dimensional metrics can be viewed as a family of deformed emergent gravities.

研究动机与目标

• 通过SO(1,3)规范对称性的Seiberg-Witten映射，构造微分同胚不变的引力形变。
• 将常数形变参数推广为时空依赖的、协变常量的双矢量场$\theta^{\mu\nu}(x)$。
• 确保结果作用量在微分同胚变换下保持不变，同时包含爱因斯坦-希尔伯特拉格朗日量和宇宙学常数项。
• 分类在这些形变下由场方程所决定的可允许时空几何，特别是至$ heta^{\mu\nu}$的二阶近似。

提出的方法

• 在SO(1,3)规范对称性下，对四维标架、旋联结和爱因斯坦-希尔伯特拉格朗日量推导Seiberg-Witten映射，形变参数为常数。
• 在法坐标系中施加四维标架假设，将旋联结与四维标架关联，确保与黎曼几何的一致性。
• 将形变参数$\theta^{\mu\nu}$识别为协变常量双矢量场$\theta^{\mu\nu}(x)$的分量，确保其与连接的协变常量性相容。
• 将经典作用量构造为$\theta^{\mu\nu}(x)$的幂级数，通过构造确保微分同胚不变性。
• 在作用量中加入宇宙学常数项，以保持一般性并确保与标准引力扩展的一致性。
• 利用场方程和$\theta^{\mu\nu}$的协变常量性，约束至二阶$ heta^{\mu\nu}$的可允许时空度规形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Seiberg-Witten映射推广，以构造具有SO(1,3)规范对称性的微分同胚不变非交换引力理论？
• RQ2 形变参数$\theta^{\mu\nu}(x)$必须满足何种条件，才能在形变作用量中保持微分同胚不变性？
• RQ3 当$\theta^{\mu\nu}(x)$为协变常量且作用量展开至二阶时，哪些时空几何与场方程一致？
• RQ4 引入宇宙学常数如何影响形变引力作用量的结构及其解？
• RQ5 所得到的形变引力理论能否被解释为从低维引力分量涌现而来？

主要发现

• 所构造的作用量显式具有微分同胚不变性，并表示为协变常量双矢量场分量$\theta^{\mu\nu}(x)$的幂级数。
• 至$\theta^{\mu\nu}$的二阶近似，场方程将时空度规限制为两个二维度规的直和。
• 每个二维分量的曲率完全由双矢量分量$\theta^{\mu\nu}$决定，确立了几何约束。
• 宇宙学常数被一致地包含在作用量中，保持其在形变理论中的作用。
• 所得四维度规类代表了一类形变的涌现引力，其中非交换性由双矢量$\theta^{\mu\nu}(x)$编码。
• 该方法确保了四维标架、旋联结和爱因斯坦-希尔伯特拉格朗日量的Seiberg-Witten映射，被一致地扩展至时空依赖的、协变常量的$\theta^{\mu\nu}(x)$。