[论文解读] Construction and Count of Boolean Functions of an Odd Number of Variables with Maximum Algebraic Immunity

Na Li, Wen‐Feng Qi|ArXiv.org|May 30, 2006

Coding theory and cryptography参考文献 12被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种构造方法，用于生成所有奇数 $ n $ 个变量的布尔函数，使其具有最大代数免疫性，通过将问题转化为在结构化的 $ 2^{n-1} \times 2^{n-1} $ 矩阵中寻找可逆子矩阵来实现。证明了此类函数的数量超过 $ 2^{2^{n-1}} $，从而确立了其丰富性，并对这一类函数提供了完整的刻画。

ABSTRACT

Algebraic immunity has been proposed as an important property of Boolean functions. To resist algebraic attack, a Boolean function should possess high algebraic immunity. It is well known now that the algebraic immunity of an $n$-variable Boolean function is upper bounded by $\left\lceil {\frac{n}{2}} ight ceil $. In this paper, for an odd integer $n$, we present a construction method which can efficiently generate a Boolean function of $n$ variables with maximum algebraic immunity, and we also show that any such function can be generated by this method. Moreover, the number of such Boolean functions is greater than $2^{2^{n-1}}$.

研究动机与目标

• 为奇数 $ n $ 的 $ n $-变量布尔函数开发一种完整且高效的构造方法，使其具有最大代数免疫性。
• 确定此类布尔函数的确切数量，填补先前文献中关于其计数的空白。
• 证明通过所提方法可生成每一个具有最大代数免疫性的此类函数，从而确立方法的完备性。
• 提供一个框架，实现对这些函数的系统性生成与枚举，对密码学设计具有实用价值。

提出的方法

• 该方法将寻找最大代数免疫性函数的问题转化为在由基函数 $ G_n $ 导出的 $ 2^{n-1} \times 2^{n-1} $ 矩阵 $ W(G_n) $ 中识别 $ k \times k $ 可逆子矩阵的问题。
• 利用布尔函数的代数正规形式（ANF）和真值表表示，定义对应于次数不超过 $ \left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil - 1 $ 的单项式的向量 $ v(X) $。
• 构造过程包括从真值表中选取 $ k $ 个开启点和 $ k $ 个关闭点，然后使用高斯消去法确保 $ W(G_n) $ 中选定列向量的线性无关性。
• 基于可逆子矩阵条件，定义一个新的函数 $ f_{(i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots,j_k)} $，通过翻转 $ G_n $ 在 $ k $ 个开启点和 $ k $ 个关闭点处的输出值。
• 该方法利用 $ f $ 与 $ f \oplus 1 $ 之间的对偶性，将 $ k $ 的取值范围限制在 $ 1 \leq k \leq 2^{n-2} $，以避免冗余。
• 证明此类函数的数量等于 $ W(G_n) $ 中 $ k \times k $ 可逆子矩阵的数量，且该数量被证明超过 $ 2^{2^{n-1}} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ n $ 为奇数时，如何系统性地构造所有 $ n $-变量布尔函数，使其具有最大代数免疫性？
• RQ2 此类函数的确切数量是多少？其数量随 $ n $ 的增长如何变化？
• RQ3 是否每一个具有最大代数免疫性的布尔函数都能通过单一、统一的构造方法生成？
• RQ4 真值表及其关联矩阵 $ W(G_n) $ 的哪些结构性质决定了最大代数免疫性？

主要发现

• 对于奇数 $ n $，$ n $-变量布尔函数中具有最大代数免疫性的函数数量超过 $ 2^{2^{n-1}} $，表明此类函数数量极为庞大。
• 所提构造方法是完备的：每一个具有最大代数免疫性的 $ n $-变量布尔函数均可通过该算法生成。
• 该方法将问题简化为在 $ 2^{n-1} \times 2^{n-1} $ 矩阵 $ W(G_n) $ 中寻找 $ k \times k $ 可逆子矩阵，对于较小的 $ k $ 值具有计算可行性。
• 当 $ k = 1 $ 时，构造过程简化为选择一个开启点和一个关闭点，使得对应的列向量中包含值为 1 的元素，从而实现高效生成。
• 该方法在补运算下保持代数免疫性不变，因此在构造中 $ f $ 与 $ f \oplus 1 $ 被视为等价处理。
• 结果建立了可逆子矩阵的存在性与具有最大代数免疫性的函数存在的直接对应关系。