[论文解读] Construction and enumeration for self-dual cyclic codes of even length over $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$

Yuan Cao, Yonglin Cao+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文使用基于迹逆和 $x^N - 1$ 因式分解的递归提升方法，对有限链环 $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 上长度为偶数 $2^s n$ 的自偶循环码进行了完整的代数构造与计数，其中 $u^2 = 0$。主要贡献是给出了此类自偶码总数的闭式公式，从而可通过格雷映射系统地生成 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上的自偶与 $2$-拟循环码。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}_{2^m}$ be a finite field of cardinality $2^m$, $R=\mathbb{F}_{2^m}+u\mathbb{F}_{2^m}$ $(u^2=0)$ and $s,n$ be positive integers such that $n$ is odd. In this paper, we give an explicit representation for every self-dual cyclic code over the finite chain ring $R$ of length $2^sn$ and provide a calculation method to obtain all distinct codes. Moreover, we obtain a clear formula to count the number of all these self-dual cyclic codes. As an application, self-dual and $2$-quasi-cyclic codes over $\mathbb{F}_{2^m}$ of length $2^{s+1}n$ can be obtained from self-dual cyclic code over $R$ of length $2^sn$ and by a Gray map preserving orthogonality and distances from $R$ onto $\mathbb{F}_{2^m}^2$.

研究动机与目标

• 提供有限链环 $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 上偶长自偶循环码的完整分类与显式构造。
• 推导出长度为 $2^s n$（其中 $n$ 为奇数）的互异自偶循环码数量的闭式公式。
• 建立一种系统方法，通过格雷映射从 $R = \mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 上的自偶循环码，系统生成 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上的自偶与 $2$-拟循环码。
• 将先前关于 $\mathbb{F}_2 + u\mathbb{F}_2$ 上常循环码与循环码的结果推广至更一般的环 $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$，适用于偶长码。

提出的方法

• 该方法基于 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上 $x^N - 1$ 的因式分解，采用递归提升方法，特别关注 $N = 2^s n$ 且 $n$ 为奇数的情形。
• 引入迹逆构造：$\mathcal{W}^{(2,s;k)}_{(\beta_0,\dots,\beta_{k-1})} = x^{-(4+k)} \cdot \operatorname{Tr}^{-1}(x^{4+k} \cdot \delta^{(k)}_{(\beta_0,\dots,\beta_{k-1})}(x))$，其中 $\delta^{(k)}$ 是满足模 $f_2(x)$ 幂次某些同余条件的多项式。
• 构造过程分步进行：对每个 $k$，利用前一级的值并求解涉及 $f_2(x)^k$ 的同余方程组，计算集合 $\mathcal{W}^{(2,s;k)}_{(\beta_0,\dots,\beta_{k-1})}$。
• 该方法依赖于环 $R = \mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 的结构以及同构映射 $\phi: R \to \mathbb{F}_{2^m}^2$，该映射在格雷映射下保持对偶性与权重分布。
• 通过递归求解满足模 $f_2(x)^k$ 要求同余关系的 $\delta^{(k)}$ 多项式，算法计算所有解，确保自偶性条件被保持。
• 最终码表示为 $\Omega_{2,s} = \sum_{k=0}^{3} \beta_k(x) f_2(x)^k$，其中 $\beta_k(x)$ 取自预先计算的集合 $\mathcal{W}^{(2,s;k)}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何显式构造 $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 上长度为偶数 $2^s n$ 的自偶循环码？
• RQ2 在 $R = \mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 上，长度为 $2^s n$ 的互异自偶循环码的确切数量是多少？
• RQ3 格雷映射如何用于将 $R$ 上的自偶码提升为 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上的自偶与 $2$-拟循环码？
• RQ4 何种代数结构使得通过迹逆与多项式同余关系实现此类码的递归构造成为可能？
• RQ5 该方法能否推广至其他偶长循环码，适用于形式为 $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 的有限链环？

主要发现

• 本文使用递归迹逆方法，提供了 $R = \mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 上长度为 $2^s n$（$n$ 为奇数）的所有自偶循环码的完整且显式的构造。
• 推导出此类自偶循环码数量的闭式公式，其基础是模 $f_2(x)$ 幂次的多项式同余方程组的解数。
• 当 $s=2$，$m=1$，$n=1$ 时，构造得到 $\Omega_{2,4}$，共含 $16$ 个元素：$8$ 个来自 $\beta_0 = 0$ 分支，$8$ 个来自 $\beta_0 = 1+x$ 分支。
• 格雷映射 $\phi$ 保持对偶性与权重分布，因此 $R$ 上长度为 $N$ 的每个自偶循环码均映射为 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上长度为 $2N$ 的自偶 $2$-拟循环码。
• 该构造方法有效且系统：对每个层级 $k$，通过迹逆与多项式提升递归计算集合 $\mathcal{W}^{(2,s;k)}$，确保捕获所有解。
• 该方法将先前关于 $\mathbb{F}_2 + u\mathbb{F}_2$ 上常循环码与循环码的结果推广至更大的环 $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$，扩展了在更大有限域上码的适用性。