[论文解读] Construction and Uniqueness for reflected BSDE under linear increasing condition

Guangyan Jia, Mingyu Xu|ArXiv.org|Jan 24, 2008

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 4被引用 4

一句话总结

该论文在生成器 $ g $ 满足线性增长条件的假设下，建立了带一个或两个反射屏障的倒向随机微分方程（RBSDEs）解的存在性与唯一性。通过引入 $ g + c $ 的扰动方法，证明了解的唯一性当且仅当最小解的期望值关于 $ c $ 连续；并表明存在多个解的 $ c $ 值集合至多可数。

ABSTRACT

In this paper, we study the uniqueness of the solution of reflected BSDE with one or two barriers, under continuous and linear increasing condition of generator $g$. Before that we study the construction of solution of of reflected BSDE with one or two barriers.

研究动机与目标

• 在生成器 $ g $ 满足线性增长条件的假设下，建立带一个或两个屏障的RBSDE解的存在性与唯一性。
• 分析当生成器被常数 $ c $ 扰动时，解的稳定性和连续性。
• 刻画使得带扰动生成器 $ g + c $ 的RBSDE存在多个解的 $ c $ 值集合。
• 基于最小/最大解路径在 $ c $ 上的连续性，提供解唯一性的充分条件。

提出的方法

• 通过Lipschitz连续截断 $ \underline{g}_n $ 和 $ \overline{g}_n $ 的逼近方法，构造在 $ g $ 满足线性增长条件下的带一个或两个屏障的RBSDE的解。
• 应用RBSDE的比较定理，将 $ g $ 的解与近似生成器 $ \underline{g}_n $ 和 $ \overline{g}_n $ 的解进行比较。
• 定义辅助函数 $ \underline{m}(t,c) = \mathbb{E}[\underline{y}_t^c] $ 和 $ \overline{m}(t,c) = \mathbb{E}[\overline{y}_t^c] $，分别表示在扰动 $ c $ 下最小解与最大解的期望值。
• 证明：当且仅当 $ \underline{m}(t,c) $ 和 $ \overline{m}(t,c) $ 在 $ c $ 处连续时，$ g + c $ 的解唯一，利用单调性与连续性性质。
• 利用单调函数至多只有可数个不连续点的事实，证明存在多个解的 $ c $ 值集合至多可数。
• 借助先前工作中得到的比较定理与收敛结果，证明 $ \underline{m}(t,c) $ 和 $ \overline{m}(t,c) $ 的单调性与连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当生成器 $ g $ 满足线性增长条件时，带一个或两个屏障的RBSDE在何种条件下存在唯一解？
• RQ2 当生成器被常数 $ c $ 扰动时，RBSDE的解如何变化？解路径的连续性由什么决定？
• RQ3 对于哪些 $ c \in \mathbb{R} $，带生成器 $ g + c $ 的RBSDE存在多个解？其结构如何？
• RQ4 解的唯一性能否通过最小解或最大解的期望值在 $ c $ 上的连续性来刻画？
• RQ5 生成器 $ g $ 的近似 $ \underline{g}_n $ 和 $ \overline{g}_n $ 如何帮助证明原始RBSDE的存在性与唯一性？

主要发现

• 在 $ g $ 满足线性增长条件的假设下，通过逼近与收敛论证，带一个或两个屏障的RBSDE解存在。
• 对于 $ g + c $，解的唯一性成立当且仅当最小解的期望值 $ \underline{m}(t,c) $ 对所有 $ t \in [0,T] $ 在 $ c $ 处连续。
• $ \underline{m}(t,c) $ 与 $ \overline{m}(t,c) $ 关于 $ c $ 是单调的，且其在 $ c $ 处的连续性刻画了解的唯一性。
• 使得带生成器 $ g + c $ 的RBSDE存在多于一个解的 $ c \in \mathbb{R} $ 的集合至多可数。
• 扰动生成器RBSDE的最小解与最大解 $ \underline{y}_t^c $、$ \overline{y}_t^c $ 满足 $ \underline{y}_t^c \geq y_t $，从而保证了比较原理成立。
• 在 $ c $ 处 $ \underline{m}(t,c) $ 与 $ \overline{m}(t,c) $ 的连续性，是RBSDE带生成器 $ g + c $ 解唯一性的必要且充分条件。