[论文解读] Construction of a blow-up solution for a perturbed nonlinear heat equation with a gradient and a non-local term

Bouthaina Abdelhedi, Hatem Zaag|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 30被引用 9

一句话总结

本文通过相似变量和谱分析方法，为带有梯度项和非局部项的扰动非线性热方程构造了一个爆破解。证明了解在有限时间内爆破，且其爆破轮廓精确匹配标准非线性热方程的通用轮廓，即使在扰动下依然成立，并提供了爆破时刻附近解及其梯度的尖锐空间衰减估计。

ABSTRACT

We consider in this paper a perturbation of the standard semilinear heat equation by a term involving the space derivative and a non-local term. We prove the existence of a blow-up solution, and give its blow-up profile. Our proof relies on the following method: we linearize the equation (in similarity variables) around the expected profile, then, we control the nonpositive directions of the spectrum thanks to the decreasing properties of the kernel. Finally, we use a topological argument to control the positive directions of the spectrum.

研究动机与目标

• 建立一个被梯度项和非局部项共同扰动的半线性热方程的爆破解的存在性。
• 确定解的爆破轮廓，并证明其收敛于标准非线性热方程的通用轮廓。
• 分析在同时包含梯度项和非局部项的联合扰动下，该构造方法的鲁棒性。
• 在爆破时刻附近，提供解及其梯度在尾部区域的尖锐空间衰减估计。

提出的方法

• 在相似变量下围绕预期的爆破轮廓线性化方程，以研究线性化算子的谱性质。
• 利用与线性化算子相关的核的衰减性质，控制非正谱方向。
• 应用拓扑论证控制正谱方向，确保解在轮廓附近的稳定性。
• 使用加权索伯列夫空间 $W^{1,∞}_{\beta}(\mathbb{R}^N)$，其中权函数为 $ (1 + |x|^\beta) $，以控制尾部区域中解及其梯度。
• 在合适的函数空间中应用不动点论证，证明满足所需界的存在解。
• 利用加权 $L^\infty$ 范数估计涉及梯度和非局部积分的非线性项，并对参数 $p$、$q$ 和 $\beta$ 做出假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 标准非线性热方程的经典爆破轮廓构造方法能否推广到同时包含梯度项和非局部扰动的方程？
• RQ2 梯度项和非局部积分项的存在如何影响爆破轮廓以及解在空间中的衰减速率？
• RQ3 在参数 $p$、$q$ 和 $\mu$ 满足何种条件下，可保证存在一个爆破轮廓与未扰动情况相同的解？
• RQ4 在爆破时刻附近的尾部区域，解及其梯度的空间衰减估计能有多尖锐？
• RQ5 在梯度非线性和非局部非线性共同作用下，解的构造方法是否具有鲁棒性？

主要发现

• 解 $u(x,t)$ 在有限时间 $T$ 处于原点爆破，其爆破轮廓与通用轮廓 $f(z) = (p-1 + \frac{(p-1)^2}{4p}|z|^2)^{-1/(p-1)}$ 一致。
• 解满足如下估计：$|u(x,t) - (T-t)^{-1/(p-1)}f(\frac{x}{\sqrt{(T-t)|\log(T-t)|}})| \leq \frac{C}{1 + (\frac{|x|^2}{T-t})^{\beta/2}} \frac{(T-t)^{-1/(p-1)}}{|\log(T-t)|^{(1-\beta)/2}}$，其中 $0 < \beta < \frac{2}{p-1}$。
• 梯度满足类似估计：$|\nabla u(x,t) - \frac{(T-t)^{-1/2 - 1/(p-1)}}{\sqrt{|\log(T-t)|}} \nabla f(\cdots)| \leq \frac{C}{1 + (\frac{|x|^2}{T-t})^{\beta/2}} \frac{(T-t)^{-1/2 - 1/(p-1)}}{|\log(T-t)|^{(1-\beta)/2}}$。
• 当 $|x| \geq (T-t)^{1/2} |\log(T-t)|^{\frac{1}{2}(1 + (\frac{2}{p-1} - \beta)^{-1})}$ 时，解满足 $|u(x,t)| \leq \frac{C}{|x|^\beta}$，表明尾部控制得到改善。
• 在参数条件 $p > 3$，$\frac{N}{2}(p-1)+1 < q < \frac{N}{2}(p-1) + \frac{p+1}{2}$，且 $\mu \in \mathbb{R}$ 下，该构造成立，其中 $\beta$ 依 $\mu$ 而定。
• 该方法优于先前结果，通过在空间尾部区域提供更尖锐的衰减估计，将轮廓收敛性精度提升至超过 Merle 和 Zaag（1998）等先前工作的水平。