[论文解读] Construction of a Kaluza-Klein type Theory from One Dimension

D. J. Jackson|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2016

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 8被引用 10

一句话总结

该论文提出了一种新颖的Kaluza-Klein型统一框架，完全基于一维时间（实数轴）构建。通过分析时间区间的算术分解，推导出多维对称性，从而产生四维时空流形和内部规范对称性，通过主丛上的几何结构统一外部引力与内部规范曲率，同时通过双重对称性自发破缺机制，保持与Coleman-Mandula定理的一致性。

ABSTRACT

We describe how a physical theory incorporating the properties of fields deriving from extra-dimensional structures over a four-dimensional spacetime manifold can in principle be obtained through the analysis of a simple initial structure consisting of the one dimension of time alone, as represented by the real line. The simplicity of this starting point leads to symmetries of multi-dimensional forms of time, from which a geometrical structure can be derived which is similar to the framework employed in non-Abelian Kaluza-Klein theories. This leads to a relationship between the external and internal curvature on the spacetime manifold unified through the underlying constraint of the one dimension of time for the theory presented here. We also describe how the symmetry breaking structure is compatible with the Coleman-Mandula theorem for the subsequent quantisation of the theory.

研究动机与目标

• 基于一维时间的最小结构构建统一物理理论，避免任意假设。
• 展示多维空间与规范对称性如何从实区间算术分解中涌现。
• 仅以时间为根基，构建类似于非阿贝尔Kaluza-Klein理论的几何框架。
• 通过双重对称性破缺机制，确保与Coleman-Mandula定理的一致性。
• 为不依赖希格斯机制实现完全对称性破缺而推导出标准模型谱提供基础。

提出的方法

• 分析二次分解 $ s^2 = \eta_{ab}x^a x^b $，其中 $ s \in \mathbb{R} $，且 $ x^a $ 为实数，以诱导SO(n)对称性及多维空间的解释。
• 将分解扩展至具有任意签名度量 $ \eta $ 的 $ n $-维形式，导出SO(p,q)对称性及更高维时间结构。
• 在主丛 $ P \equiv M_4 \times G $ 上构造线性联络 $ \acute{\Gamma}(p) $，其来源于时间流 $ L(\hat{\mathbf{v}}) = 1 $ 的对称性破缺。
• 通过方程93推导外部时空与内部规范曲率之间的统一曲率关系，将 $ M_4 $ 上的爱因斯坦-希尔伯特作用量与丛几何联系起来。
• 利用全对称群 $ \hat{G} \subset E_8 $，其中 $ \hat{G} $ 分裂为外部 $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{C}) $ 与内部 $ \mathrm{SU}(2)_L \times \mathrm{U}(1)_Y $ 成分。
• 区分两种对称性破缺机制：$ \hat{G} $ 的绝对破缺为外部与内部部分，以及通过 $ \mathbf{v}_4 \in \mathrm{TM}_4 $ 的表观破缺，避免希格斯场直接耦合至 $ \hat{G} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅从一维时间流中构建一个统一引力与规范相互作用的场论？
• RQ2 多维空间与规范对称性如何从实区间的算术分解中涌现？
• RQ3 在仅基于时间推导的理论中，外部时空曲率与内部规范曲率之间存在何种几何关系？
• RQ4 所提出的对称性破缺机制如何保持与Coleman-Mandula定理的一致性？
• RQ5 通过将希格斯机制与统一群的完全对称性破缺分离，能否避免标准模型中的层次问题？

主要发现

• 该理论在主丛 $ P \equiv M_4 \times G $ 上构建了几何框架，其来源于高维时间结构 $ L(\hat{\mathbf{v}}) = 1 $ 的对称性破缺。
• 在 $ P $ 上定义了线性联络 $ \acute{\Gamma}(p) $，通过方程93实现对外部与内部曲率的统一描述。
• 外部时空流形 $ M_4 $ 与内部规范群 $ G $ 源于全对称群 $ \hat{G} $ 的绝对破缺，其中 $ \hat{G} \subset E_8 $。
• 该理论展现出两种不同的对称性破缺机制：一种作用于 $ \hat{\mathbf{v}} $ 的外部与内部分量，另一种通过 $ \mathbf{v}_4 \in \mathrm{TM}_4 $ 实现电弱对称性破缺。
• 由于希格斯场未直接耦合至全 $ \hat{G} $ 对称性破缺，避免了对电弱希格斯 sector 的干扰，可能解决层次问题。
• 该框架与Coleman-Mandula定理相容，因为外部洛伦兹对称性与内部规范对称性均源自同一统一群的结构化破缺。