[论文解读] Construction of Codes for Network Coding

Andreas-Stephan Elsenhans, Axel Kohnert+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文提出了一种利用组合设计的q-模拟和群作用（特别是Singer循环）构造网络编码中常维子空间码的新方法。该方法通过仅使用每错误7个域运算即可实现高效解码，生成具有高最小距离的大码，且通过随机轨道选择可高概率实现近似最优性能。

ABSTRACT

Based on ideas of Kötter and Kschischang we use constant dimension subspaces as codewords in a network. We show a connection to the theory of q-analogues of a combinatorial designs, which has been studied in Braun, Kerber and Laue as a purely combinatorial object. For the construction of network codes we successfully modified methods (construction with prescribed automorphisms) originally developed for the q-analogues of a combinatorial designs. We then give a special case of that method which allows the construction of network codes with a very large ambient space and we also show how to decode such codes with a very small number of operations.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于构造适用于网络编码应用的具有大最小距离的常维子空间码。
• 建立子空间码与组合设计的q-模拟（特别是Steiner系统）之间的联系。
• 通过自同构群和Singer循环的对称性，实现此类码的高效解码。
• 提供一个概率框架，用于生成具有子空间间所需交集特性的码。
• 证明在Singer循环下随机选择轨道可高概率满足所需的最小距离约束。

提出的方法

• 利用群作用（特别是Singer循环）对子空间进行作用，生成形成常维码的码字的轨道。
• 应用一个丢番图不等式系统，以确保构造的码维持至少为2(k−t+1)的所需最小子空间距离。
• 采用轨道中k维子空间两两交集至多为一维的条件，从而保证最小距离。
• 利用离散对数问题的计算困难性，确保域元素的商对互不相同，从而避免不希望的交集。
• 使用概率模型估算随机选择的k元组在域中生成两两交集≤1维的子空间的概率。
• 应用基于接收码字与候选码字之间商比较的解码算法，每错误仅需GF(2^v)中7次乘法和7次除法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用组合设计的q-模拟系统化构造具有保证最小距离的常维子空间码？
• RQ2 如何利用Singer循环等群作用生成具有最小交集特性的大而结构化的子空间码？
• RQ3 在Singer循环下随机选择轨道时，其生成码满足所需最小距离的概率是多少？
• RQ4 能否通过基于对称性的算法实现此类码的高效解码？
• RQ5 可用轨道数量如何随域大小和维度变化？预期的无冲突轨道数量是多少？

主要发现

• 当q=2、v=100且k=3时，随机轨道不满足两两商条件的概率约为exp(−3.31×10⁻²⁸)，表明成功概率极高。
• 可组合进单个码中的无冲突轨道的期望数量约为6.7×10¹³，支持极大规模码的构造。
• 所构造码的解码算法每错误最多需要7次域乘法和7次除法（在GF(2^v)中），实现极低的计算复杂度。
• 该方法确保码的最小距离至少为2(k−1)，对应于非删除场景下可纠正最多k−2个错误。
• 该构造方法可成功推广至k维子空间和n个轨道，可用对数对的数量随轨道数的组合方式增长。
• 该方法通过确保每个(t−1)维子空间至多包含在一个码字子空间中，建立了子空间码与q-模拟设计（特别是Steiner系统）之间的强关联。