[论文解读] Construction of Complete Complementary Codes over Small Alphabet

Palash Sarkar, Chunlei Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2021

Coding theory and cryptography被引用 14

一句话总结

本文提出了一种基于多变量函数的完整互补码（CCCs）构造方法，可实现任意长度（大于1的所有整数），通过广义二阶布尔函数的推广，实现了对小字母表下灵活集合大小与字母表参数的直接高效生成，克服了以往仅限于2的幂次长度的局限。

ABSTRACT

Complete complementary codes (CCCs) play a vital role not only in wireless communication, particularly in multicarrier systems where achieving an interference-free environment is of paramount importance, but also in the construction of other codes that necessitate appropriate functions to meet the diverse demands within today's landscape of wireless communication evaluation. This research is focused on the area of constructing $q$-ary functions for both of {traditional and spectrally null constraint (SNC) CCCs}\footnote{When no codes in CCCs having zero components, we call it as traditonal CCCs, else, we call it as SNC-CCCs in this pape.} of flexible length, set size and alphabet. We construct traditional CCCs with lengths, defined as $L = \prod_{i=1}^k p_i^{m_i}$, set sizes, defined as $K = \prod_{i=1}^k p_i^{n_i+1}$, and an alphabet size of $q=\prod_{i=1}^k p_i$, such that $p_1

研究动机与目标

• 解决现有文献中缺乏对任意长度完整互补码（CCCs）的直接构造方法的问题。
• 通过避免迭代或间接序列操作，实现CCCs的高效硬件生成。
• 将CCCs的应用范围从仅限于2的幂次长度扩展至任意复合长度，尤其适用于实际无线通信与信号处理系统。
• 建立所提CCCs与新定义线性码之间的联系，以促进进一步的理论与实际探索。
• 将基于广义布尔函数与幺正矩阵的先前构造方法推广至支持任意复合长度。

提出的方法

• 基于二阶广义布尔函数引入多变量函数框架，以生成CCCs。
• 采用数学归纳法，将长度为素数幂的构造推广至形式为 $\prod_{i=1}^{k}p_i^{m_i}$ 的复合长度。
• 将集合大小定义为 $\prod_{i=1}^{k}p_i^{n_i}$，覆盖所有大于1的整数，确保码书大小的完全灵活性。
• 利用素数 $p_1, \dots, p_k$ 的最小公倍数确定字母表大小 $\lambda$，实现码构造中的相位灵活性。
• 通过新定义的线性码 $\mathcal{C}_k(\lambda, 2)$ 的陪集代表元推导出CCCs，将构造与纠错码理论建立联系。
• 证明当 $k=1$ 且 $p_1=2$ 时，该构造退化为Golay-Davis-Jedwab（GDJ）序列生成器，验证了与已知结果的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对所有大于1的整数长度实现完整互补码的直接构造？
• RQ2 如何系统化地设计多变量函数，以生成具有任意长度与灵活集合大小的CCCs？
• RQ3 所提CCCs构造与新定义线性码 $\mathcal{C}_k(\lambda, r)$ 之间存在何种关系？
• RQ4 所提方法是否能相比间接或迭代方法，实现更高效的硬件生成，降低存储与计算复杂度？
• RQ5 在线性码 $\mathcal{C}_k(\lambda, 2)$ 中是否存在其他陪集代表元，可生成新的互补序列并构建更大的码书？

主要发现

• 所提构造可生成长度为 $\prod_{i=1}^{k}p_i^{m_i}$ 的CCCs，其中 $k$、$m_i$ 为任意正整数，$p_i$ 为素数，覆盖所有大于1的整数。
• 集合大小为 $\prod_{i=1}^{k}p_i^{n_i}$，同样覆盖所有大于1的整数，确保码书维度的完全灵活性。
• 字母表大小为 $\mathbb{Z}_\lambda$，且满足 $\text{lcm}(p_1, \dots, p_k) \mid \lambda$，实现码构造中的相位灵活性。
• 当 $k=1$ 且 $p_1=2$ 时，该构造退化为Golay-Davis-Jedwab（GDJ）序列生成器，确认与既定结果的一致性。
• 该方法避免了复杂的序列操作，相比Kronecker积或PU矩阵分解等间接方法，实现了更快、更高效的硬件生成。
• 建立了所提CCCs与线性码 $\mathcal{C}_k(\lambda, 2)$ 之间的联系，其中互补序列源于该码的特定陪集代表元。