[论文解读] Construction of Conformally Compact Einstein Manifolds

Dezhong Chen|ArXiv.org|Aug 11, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用 6

一句话总结

该论文通过Hopf纤维丛将闭的爱因斯坦流形纤维化为基空间为凯勒-爱因斯坦流形乘积的复盘丛的全空间，构造了新的显式共形紧致爱因斯坦流形。利用重整化体积和共形异常计算，推导出偶数维和奇数维的共形不变量的显式公式，从而得到新的黎曼积流形，其$Q$-曲率恒为零。

ABSTRACT

We produce some explicit examples of conformally compact Einstein manifolds, whose conformal compactifications are foliated by Riemannian products of a closed Einstein manifold with the total space of a principal circle bundle over products of Kahler-Einstein manifolds. We compute the associated conformal invariants, i.e., the renormalized volume in even dimensions and the conformal anomaly in odd dimensions. As a by-product, we obtain some Riemannian products with vanishing Q-curvature.

研究动机与目标

• 构造超越双曲空间的、具有非平凡几何结构的新显式共形紧致爱因斯坦流形示例。
• 为这些新流形计算共形不变量——偶数维的重整化体积与奇数维的共形异常。
• 确定爱因斯坦流形的黎曼积流形在何种条件下表现出$Q$-曲率恒为零。
• 通过引入法丛上Fano凯勒-爱因斯坦流形乘积的主圆丛及收缩Hopf纤维丛，推广先前的构造方法。

提出的方法

• 在$N \times \text{Tot}(\text{disc bundle})$上构造共形紧致爱因斯坦度量，其中$N$为闭的爱因斯坦流形，且盘丛来源于凯勒-爱因斯坦流形乘积上的主圆丛。
• 对Hopf纤维丛$S^{2n_1+1} \to \mathbb{C}P^{n_1}$实施下压过程，得到复盘丛的全空间。
• 利用径向坐标$\sigma$与重标度函数$\xi(\sigma)$，推导体积形式在共形边界附近的渐近展开式。
• 通过涉及$\kappa_1\sqrt{\alpha}$与$\xi$的微分方程，分析$\sigma = 0$处的高阶导数，从而计算体积展开式中的常数项。
• 应用引理5.4与数学归纳法，证明$\xi$在$\sigma = 0$处的奇数阶导数为零，从而消除体积展开中的某些项。
• 通过包含系数$a_j$、$b_j$、$C_1$、$C_3$、$\kappa_1$、$s_*$与$\nu$的公式，推导出重整化体积，其显式依赖于基流形的几何结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，可在涉及凯勒-爱因斯坦流形乘积上的盘丛的乘积流形上构造共形紧致爱因斯坦度量？
• RQ2 对于非相似度量的偶数维共形紧致爱因斯坦流形，如何显式计算其重整化体积？
• RQ3 基凯勒-爱因斯坦流形的爱因斯坦常数与陈类在这些度量存在性中起何种作用？
• RQ4 在何种情况下，爱因斯坦流形的黎曼积流形表现出$Q$-曲率恒为零？
• RQ5 对于这些新构造，奇数维的共形异常能否显式计算？

主要发现

• 在基流形的爱因斯坦常数与陈类满足特定条件时，该论文在$N \times \text{Tot}(\text{disc bundle})$上构造出一参数族非相似的共形紧致爱因斯坦度量。
• 推导出偶数维重整化体积的显式公式：$V(g) = \frac{C_1 C_3}{2\nu \kappa_1^p s_*^{p-1}} \left( \frac{\nu a_0}{1-p} + \sum_{j=1}^{m/2-1} \frac{\epsilon a_{j-1} + \nu a_j}{1-p+2j} s_*^{2j} + \frac{\epsilon}{1-n} s_*^m \right)$，其中$p = m+n$。
• 对四维双曲空间$H^4$，显式计算出重整化体积为$V(H^4) = \frac{4}{3}\pi^2$。
• 该构造产生了新的黎曼积流形示例，其$Q$-曲率恒为零，尤其当基流形满足特定曲率与拓扑约束时成立。
• 条件$(n_1+1)|q_i| > p_i$确保了当$N$具有负标量曲率时，即使某些$V_i$的爱因斯坦常数非正，度量仍存在。
• 奇数维的共形异常通过相同框架隐式计算，其中重整化体积公式作为偶数维的主要不变量。