[论文解读] Construction of dendriform trialgebras

Jean-Christophe Novelli, Jean‐Yves Thibon|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2005

Advanced Topics in Algebra被引用 16

一句话总结

本文将一个生成元上的自由 dendriform 三重代数构造为无穷多个变量的非交换多项式代数中的子三重代数。通过打包字和平面树实现该代数，证明所得结构是一个自由的、自对偶的、双 dendriform bialgebra，且同构于 NCQSym 模 sylvester 同余的商代数。

ABSTRACT

We realize the free dendriform trialgebra on one generator, as well as several other examples of dendriform trialgebras, as sub-trialgebras of an algebra of noncommutative polynomials in infinitely many variables.

研究动机与目标

• 通过非交换多项式显式实现一个生成元上的自由 dendriform 三重代数。
• 建立该实现与非交换 quasi-对称函数代数（NCQSym）在 sylvester 同余下的商代数之间的同构关系。
• 证明所构造的代数是一个自由的、自对偶的、双 dendriform bialgebra，且其基本李代数是自由的。
• 将该结构与平面树、打包字和停车函数等组合对象联系起来。
• 证明该代数对偶的齐次分量在停车函数的内积下同构于 Solomon-Tits 代数。

提出的方法

• 将自由 dendriform 三重代数实现为自由结合代数 K⟨A⟩⁺ 的子三重代数，其中 A 是一个无限全序字母表。
• 通过从最大字母及其出现次数递归构造树，定义单词上的三个二元运算 ≺, ∘, ≻。
• 引入 tass 运算将字打包为标准形式，定义基元素 Mu 为具有相同打包形式的字的和。
• 将代数 NCQSym 构造为 Mu 的张成，其构成 MQSym 的 Hopf 子代数，并在停车函数的内积下保持稳定。
• 利用 Foissy 的双 dendriform bialgebra 理论，证明 NCQSym、T、PQSym 和 MQSym 都是双 dendriform bialgebra，从而推出其自由性与自对偶性。
• 通过 detass（最大解包）映射，建立自由 dendriform 三重代数与 NCQSym 模 sylvester 同余之间的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在非交换多项式代数中显式实现一个生成元上的自由 dendriform 三重代数？
• RQ2 平面树、打包字的组合结构与自由 dendriform 三重代数的结构之间存在何种关系？
• RQ3 由打包字生成的代数 NCQSym 是否为双 dendriform bialgebra，且作为 Hopf 代数是否自对偶？
• RQ4 自由 dendriform 三重代数能否作为 NCQSym 在已知同余（如 sylvester 同余）下的商代数实现？
• RQ5 NCQSym 的对偶代数的齐次分量在停车函数的内积下是否同构于 Solomon-Tits 代数？

主要发现

• 一个生成元上的自由 dendriform 三重代数同构于 NCQSym 模 sylvester 同余，提供了在非交换多项式中的具体实现。
• 由 K⟨A⟩⁺ 中所有变量之和生成的子三重代数 T 作为 dendriform 三重代数是自由的，其基由平面树索引（由小 Schröder 数计数）。
• 由 Mu 基张成的代数 NCQSym 是一个双 dendriform bialgebra 且自对偶，其对偶通过 detass 映射嵌入 PQSym。
• 齐次分量 NCQSymₙ* 在停车函数的内积下同构于 Solomon-Tits 代数。
• 代数 MQSym 也是一个双 dendriform bialgebra 和 dendriform 三重代数，解释了其自对偶性与自由性。
• 与平面树 T 关联的基元素 MT 等于所有满足 T = T(u) 的打包字 u 的 Mu 之和，建立了树与字之间的组合联系。