[论文解读] Construction of directed strongly regular graphs using finite incidence structures

Oktay Ölmez, Sung‐Yell Song|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2010

Finite Group Theory Research参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文利用有限关联结构构造了新的无穷多组有向强正则图，具体为群可除设计中的非关联点-块对以及部分几何中的反旗（anti-flags）。关键贡献在于实现了此前理论上可行但尚未构造出的参数集，如 (36,12,5,2,5)、(54,18,7,4,7)、(72,24,10,4,10)、(96,24,7,3,7)、(108,36,14,8,14) 和 (108,36,15,6,15)，并通过组合构造证明了这些参数集的存在性。

ABSTRACT

We use finite incident structures to construct new infinite families of directed strongly regular graphs with parameters \[(l(q-1)q^l,\ l(q-1)q^{l-1},\ (lq-l+1)q^{l-2},\ (l-1)(q-1)q^{l-2},\ (lq-l+1)q^{l-2})\] for integers $q$ and $l$ ($q, l\ge 2$), and \[(lq^2(q-1),\ lq(q-1),\ lq-l+1,\ (l-1)(q-1),\ lq-l+1)\] for all prime powers $q$ and $l\in \{1, 2,..., q\}$. The new graphs given by these constructions have parameters $(36, 12, 5, 2, 5)$, $(54, 18, 7, 4, 7)$, $(72, 24, 10, 4, 10)$, $(96, 24, 7, 3, 7)$, $(108, 36, 14, 8, 14)$ and $(108, 36, 15, 6, 15)$ listed as feasible parameters on "Parameters of directed strongly regular graphs," at ${http://homepages.cwi.nl/^\sim aeb/math/dsrg/dsrg.html}$ by S. Hobart and A. E. Brouwer. We review these constructions and show how our methods may be used to construct other infinite families of directed strongly regular graphs.

研究动机与目标

• 利用有限关联结构（如非关联点-块对和反旗）构造新的无穷多组有向强正则图。
• 证明此前列出但尚未构造的有向强正则图参数集的可行性。
• 通过利用可除设计和部分几何（特别是反旗）扩展现有构造方法，生成新的图族。
• 为未来在有向强正则图构造中探索关联结构提供一个框架。

提出的方法

• 针对整数 q ≥ 2 和 l ≥ 2，构造群可除设计 GD(l, q^{l-2}, q; ql) 的非关联点-块对集合上的有向强正则图。
• 基于 x ∈ S' 的条件定义 (x,S) 与 (x',S') 之间的边，形成具有特定参数的有向图。
• 利用仿射平面导出的部分几何的反旗，构造第二类有向强正则图，其参数为 (lq²(q−1), lq(q−1), lq−l+1, (l−1)(q−1), lq−l+1)。
• 通过 l 个不相交的 q 元素子集的分划型关联结构，生成两个附加图族，其参数分别为 (ql(l−1), q(l−1), q, 0, q) 和 (ql(l−1), 2q(l−1)−1, ql−1, ql−2, 2q)。
• 采用邻接矩阵条件：A² = tI + λA + μ(J−I−A)，以及 JA = AJ = kJ，以验证有向强正则图的性质。
• 应用命题 1.1，通过与 J_m 的张量积对已知图进行缩放，将参数集扩展至更大的图。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用群可除设计中非关联点-块对构造新的无穷多组有向强正则图？
• RQ2 部分几何的反旗（特别是由仿射平面导出的）是否能生成具有可行但此前未构造出的参数的新有向强正则图？
• RQ3 退化关联结构（如点与块的分划集合）能否生成新的有向强正则图族？
• RQ4 关联结构（如可除设计和部分几何）在构造有向强正则图时，其作用是否超越“旗”这一概念？
• RQ5 如何通过组合关联系统扩展或推广现有构造方法，以实现新的参数集？

主要发现

• 基于 GD(l, q^{l-2}, q; ql) 的非关联点-块对的构造，可得到参数为 (l(q−1)q^l, l(q−1)q^{l−1}, (lq−l+1)q^{l−2}, (l−1)(q−1)q^{l−2}, (lq−l+1)q^{l−2}) 的有向强正则图，其中整数 q ≥ 2 且 l ≥ 2。
• 该构造在 q=3 且 l=2 时实现了参数集 (36,12,5,2,5)，在 q=2 且 l=4 时实现了 (96,24,7,3,7)。
• 利用仿射平面阶数为 q 的部分几何的反旗，构造出参数为 (lq²(q−1), lq(q−1), lq−l+1, (l−1)(q−1), lq−l+1) 的图，通过命题 1.1 实现了 (54,18,7,4,7)（当 q=3, l=2 时）和 (108,36,14,8,14)。
• 基于分划集合的第三个构造生成了参数为 (ql(l−1), q(l−1), q, 0, q) 的图，对所有 l ≥ 2 和 q ≥ 2 均为唯一。
• 第四个构造生成了参数为 (ql(l−1), 2q(l−1)−1, ql−1, ql−2, 2q) 的图，与 Godsil、Hobart 和 Martin 之前构造的图族一致，但采用的是新颖的基于关联结构的方法。
• 本文通过为这些图构造显式图例，确认了 Hobart 和 Brouwer 数据库中列出的六个特定可行参数集（包括 (108,36,15,6,15)）的存在性。