[论文解读] Construction of divisible formal weight enumerators and extremal polynomials not satisfying the Riemann hypothesis

Koji Chinen|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于二项式矩的算法，用于构造可除的正式权枚举，从而发现违反黎曼假设的极值正式权枚举。该研究在 $ q = 4+2\sqrt{2} $、$ 2+2\sqrt{5}/5 $ 和 $ 8+4\sqrt{3} $ 关联的环中识别出明确示例，表明极值正式权枚举未必满足黎曼假设，挑战了编码理论与zeta函数理论中长期存在的一个猜想。

ABSTRACT

The formal weight enumerators were first introduced by M. Ozeki. They form a ring of invariant polynomials which is similar to that of the weight enumerators of Type II codes. Later, the zeta functions for linear codes were discovered and their theory was developed by I. Duursma. It was generalized to certain invariant polynomials including Ozeki's formal weight enumerators by the present author. One of the famous and important problems is whether extremal weight enumerators satisfy the Riemann hypothesis. In this paper, first we formulate the notion of divisible formal weight enumerators and propose an algorithm for the efficient search of the formal weight enumerators divisible by two. The main tools are the binomial moments. It leads to the discovery of several new families of formal weight enumerators. Then, as a result, we find examples of extremal formal weight enumerators which do not satisfy the Riemann hypothesis.

研究动机与目标

• 开发一种高效算法，用于搜索可除的正式权枚举（特别是可被2整除），利用二项式矩。
• 研究极值正式权枚举是否满足黎曼假设，这是编码理论中的一个核心开放问题。
• 将码的zeta函数理论从经典类型II码扩展到实参数 $ q \neq 1 $ 的正式权枚举。
• 探讨 $ q = 4 \pm 2\sqrt{2} $、$ 2 \pm 2\sqrt{5}/5 $ 和 $ 8 \pm 4\sqrt{3} $ 的不变多项式环之间的结构差异，特别是与黎曼假设的关系。

提出的方法

• 正式权枚举被定义为在广义MacWilliams变换 $ \sigma_q $ 下不变的齐次多项式，满足 $ W^{\sigma_q}(x,y) = -W(x,y) $，其中 $ q > 0 $ 为实数且 $ q \neq 1 $。
• 通过要求所有非零系数对应的指数均可被2整除，施加对2的可除性。
• 使用二项式矩推导出对 $ q $ 的约束，从而为每个次数系统性地生成候选解。
• 从正式权枚举构造zeta多项式，并通过实轴上的介值定理分析其根，以检测是否违反黎曼假设。
• 将该方法应用于环 $ R_q^{-} = \mathbb{C}[W_{2,q}(x,y), \varphi_n^{\pm}(x,y)] $，针对特定 $ q $，包括 $ q = 4+2\sqrt{2} $、$ 2+2\sqrt{5}/5 $ 和 $ 8+4\sqrt{3} $。
• 对于极值情形，通过三角代换 $ T = \cos\theta $ 分析归一化的zeta多项式，以检验所有根是否位于单位圆上。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非整数实参数 $ q $ 上构造的极值正式权枚举是否满足黎曼假设，如同经典类型II码情形一样？
• RQ2 基于二项式矩的方法能否高效生成可除的正式权枚举，特别是对 $ c=2 $ 的情形？其对 $ q $ 施加了哪些约束？
• RQ3 为何在 $ q = 4+2\sqrt{2} $、$ 2+2\sqrt{5}/5 $ 和 $ 8+4\sqrt{3} $ 的环中无法产生满足黎曼假设的极值正式权枚举，而其共轭形式却可以？
• RQ4 在环 $ R_q^{-} $ 中，$ q $ 及其共轭之间黎曼假设满足性的这种不对称性是否存在结构或算术上的原因？
• RQ5 能否在这些广义环中为正式权枚举建立类似Mallows-Sloane界的结果？

主要发现

• 本文在 $ R_{4+2\sqrt{2}}^{-} $ 上构造了一个新的极值正式权枚举族，次数为24，最小权为8，并证明其不满足黎曼假设。
• 对于 $ q = 2+2\sqrt{5}/5 $，极值正式权枚举 $ \varphi_{10}^{+}(x,y) $ 违反黎曼假设，经由其zeta多项式在实轴上应用介值定理得到确认。
• 相比之下，$ \varphi_{10}^{-}(x,y) $ 在 $ q = 2-2\sqrt{5}/5 $ 时满足黎曼假设，因为其归一化zeta多项式的所有根均位于单位圆上。
• 类似地，$ \varphi_{12}^{+}(x,y) $ 在 $ q = 8+4\sqrt{3} $ 时不满足黎曼假设，而 $ \varphi_{12}^{-}(x,y) $ 在 $ q = 8-4\sqrt{3} $ 时则满足。
• 本文发现，在 $ R_{4+2\sqrt{2}}^{-} $ 中，没有任何极值正式权枚举满足黎曼假设，尽管存在极值多项式。
• 作者观察到显著的不对称性：在 $ q < 4 $ 的环中，满足黎曼假设的极值正式权枚举大量存在，而在对应的 $ q > 4 $ 情况下则完全缺失，暗示存在深层的结构失衡。