[论文解读] Construction of eigenfunctions for the elliptic Ruijsenaars difference operators

Edwin Langmann, Masatoshi Noumi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2020

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文通过椭圆参数 $p$ 的微扰级数展开，构造了椭圆 Ruijsenaars 差分算子的特征函数，证明了在适当区域内的绝对收敛性。引入了两种类型：Macdonald 多项式的椭圆形变和渐近自由特征函数，表明前者在物理区域 $|x_i|=1$，$0<q,t<1$，$p\geq0$ 上构成正交基。结果将三角函数 Macdonald 理论推广至椭圆情形，并实现了严格的收敛性与正交性。

ABSTRACT

We present a perturbative construction of two kinds of eigenfunctions of the commuting family of difference operators defining the elliptic Ruijsenaars system. The first kind corresponds to elliptic deformations of the Macdonald polynomials, and the second kind generalizes asymptotically free eigenfunctions previously constructed in the trigonometric case. We obtain these eigenfunctions as infinite series which, as we show, converge in suitable domains of the variables and parameters. Our results imply that, for the domain where the elliptic Ruijsenaars operators define a relativistic quantum mechanical system, the elliptic deformations of the Macdonald polynomials provide a family of orthogonal functions with respect to the pertinent scalar product.

研究动机与目标

• 将三角函数 Macdonald 多项式和渐近自由特征函数推广至椭圆 Ruijsenaars 系统。
• 建立特征函数作为椭圆参数 $p$ 的绝对收敛幂级数的存在性。
• 证明椭圆形变的 Macdonald 多项式在物理内积下构成正交系统。
• 将基于核函数的微扰方法从椭圆 Calogero-Moser-Sutherland 系统推广至 Ruijsenaars 情形。
• 探讨特征函数在 $p \leftrightarrow q$ 交换下的对称性，受物理与代数对偶性的启发。

提出的方法

• 通过 Ruijsenaars 算子的微扰展开，将特征函数构造为 $p$ 的形式幂级数。
• 应用可积变换，将特征函数从渐近区域 $|x_1| \gg \cdots \gg |x_n| \gg |p x_1|$ 映射至物理区域。
• 利用核函数与积分变换，关联不同区域中的特征函数，推广了椭圆 Calogero-Moser 系统中的方法。
• 通过控制函数估计，证明了在包含物理区域 $|x_i|=1$，$0<q,t<1$，$p\geq0$ 的区域内，特征函数级数的绝对收敛性。
• 证明椭圆 Macdonald 多项式 $\mathcal{P}_\lambda(x;p|q,t)$ 在由在 $p \leftrightarrow q$ 下不变的权函数定义的内积下正交。
• 分析 Ruijsenaars 函数的对称性，证明基态在 $p \leftrightarrow q$ 下不变，并对一般 $\lambda$ 提出该对称性成立的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 Macdonald 多项式能否在物理区域内作为 $p$ 的绝对收敛特征函数，推广至椭圆情形？
• RQ2 三角函数 Ruijsenaars 系统中的渐近自由特征函数，能否通过微扰级数推广至椭圆情形？
• RQ3 椭圆形变的 Macdonald 多项式 $\mathcal{P}_\lambda(x;p|q,t)$ 是否在物理内积下正交？
• RQ4 微扰特征函数在椭圆 Ruijsenaars 系统中的绝对收敛域为何？
• RQ5 特征函数是否存在 $p \leftrightarrow q$ 对偶对称性，特别是对一般 $\mathcal{P}_\lambda(x;p|q,t)$？

主要发现

• 椭圆形变的 Macdonald 多项式 $\mathcal{P}_\lambda(x;p|q,t)$ 作为 $p$ 的绝对收敛幂级数被构造，且满足 $\mathcal{P}_\lambda(x;0|q,t) = P_\lambda(x|q,t)$。
• $\mathcal{P}_\lambda(x;p|q,t)$ 的级数在包含物理区域 $|x_i|=1$，$0<q,t<1$，$p\geq0$ 的区域内绝对收敛，确保其定义良好。
• 在物理区域内，$\mathcal{P}_\lambda(x;p|q,t)$ 关于由在 $p \leftrightarrow q$ 下不变的权函数定义的内积构成一族正交函数。
• 渐近自由特征函数被推广至椭圆情形，作为在区域 $|x_1} \gg \cdots \gg |x_n| \gg |p x_1|$ 内的收敛级数。
• 基态特征函数满足 $\mathcal{P}_0(x;p|q,t) = \mathcal{P}_0(x;q|p,t)$，提示整个族具有 $p \leftrightarrow q$ 对偶性。
• 作者猜想整个族 $\mathcal{P}_\lambda(x;p|q,t)$ 在 $p \leftrightarrow q$ 下不变，该猜想得到关于相关函数 $f_{n,\infty}$（含参数 $\kappa$）的一个猜想的支持。