[论文解读] Construction of Exact Control for a One-Dimensional Heat Equation with Delay

D. Ya. Khusainov, Michael Pokojovy+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文通过控制函数的显式表示，建立了具有延迟项的一维热方程在低阶与高阶项中均存在延迟时的精确可控性。通过相位平移变换并引入延迟指数函数，作者推导出傅里叶级数解，并构造出一种控制，使系统在初始数据、边界数据和强迫项具有足够索伯列夫正则性时，能够被精确地引导至期望的终态，从而确保解与控制均具有经典正则性。

ABSTRACT

We prove an exact controllability result for a one-dimensional heat equation with delay in both lower and highest order terms and nonhomogeneous Dirichlet boundary conditions. Moreover, we give an explicit representation of the control function steering the system into a given final state. Under certain decay properties for corresponding Fourier coefficients which can be interpreted as a sufficiently high Sobolev regularity of the data, both control function and the solution are proved to be regular in the classical sense both with respect to time and space variables.

研究动机与目标

• 建立一维热方程在低阶与高阶项中均存在离散延迟时的精确可控性。
• 提供一种显式表示的控制函数，使系统能被引导至给定的终态。
• 在初始、边界和强迫数据具有足够索伯列夫正则性时，确保解与控制在时间和空间上均具有经典正则性。
• 通过利用延迟指数函数和傅里叶级数分解，拓展分布式延迟系统分析工具。

提出的方法

• 通过变换 $ v(x,t) = e^{\nu x} u(x,t) $ 对原方程进行相位平移，以消除一阶项，将问题简化为仅含延迟二阶项的形式。
• 引入延迟指数函数 $ \exp_{\tau}(D,t) $，以处理解表示中时间延迟的动力学。
• 将解表示为 $ \sin(\pi n x / l) $ 的傅里叶级数，其系数由涉及延迟指数函数以及初始和边界数据的积分导出。
• 通过匹配终态条件，导出控制的积分方程，从而得到控制傅里叶系数的可解方程。
• 通过假设控制形式为 $ e^{-L_n(T-t)} $，求解积分方程，得到控制系数的显式公式。
• 利用恒等式 $ \int_{-\tau}^{T-\tau} \exp_{\tau}(D_n,t) dt = \frac{1}{D_n}(\exp_{\tau}(D_n,T) - 1) $，实现对积分方程的求逆，从而获得控制系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于在低阶与高阶项中均存在延迟的一维热方程，能否实现精确可控性？
• RQ2 能否构造出一种显式表示的控制函数，使系统被引导至期望的终态？
• RQ3 在数据满足何种正则性条件下，控制与解在时间和空间上均保持经典正则性？
• RQ4 如何利用延迟指数函数求解具有分布延迟的抛物型方程？
• RQ5 当延迟同时存在于空间导数和状态中时，解与控制在傅里叶级数中的结构是怎样的？

主要发现

• 本文在数据具有足够索伯列夫正则性时，证明了一维热方程在低阶与高阶项中均存在延迟时的精确可控性。
• 推导出控制函数的显式公式，形式为 $ U(x,t) = \sum_{n=1}^\infty U_n(t) \sin(\pi n x / l) $，其中 $ U_n(t) = e^{-L_n(T-t)} \frac{R_n(T) D_n}{\exp_{\tau}(D_n,T) - 1} $。
• 当数据的傅里叶系数衰减足够快时，即对应于高索伯列夫正则性，解与控制在时间和空间变量上均被证明为经典（光滑）函数。
• 控制构造依赖于通过变换消除一阶项，并利用延迟指数函数表示延迟偏微分方程的解。
• 关键恒等式 $ \int_{-\tau}^{T-\tau} \exp_{\tau}(D_n,t) dt = \frac{1}{D_n}(\exp_{\tau}(D_n,T) - 1) $ 实现了对控制积分方程的求逆。
• 终态条件导出 $ R_n(T) = \Psi_n - s_{1n}(T) - s_{2n}(T) - m_n(\mu_1,\mu_2)(T) $，该式确定了每个傅里叶模态所需的控制幅值。