[论文解读] Construction of frame relative to n-Hilbert space

Prasenjit Ghosh, T. K. Samanta|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2021

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文引入了n-希尔伯特空间中的框架，将框架理论从希尔伯特空间推广到n-范数结构。证明了当且仅当其预框架算子是满射时，一个序列相对于n-希尔伯特空间构成一个框架，并且证明了在有界线性算子作用下，一个框架的像构成框架当且仅当该算子可逆。

ABSTRACT

In this paper, our aim is to introduce the concept of a frame in n-Hilbert space and describe some of their properties. We further discuss tight frame relative to n-Hilbert space. At the end, we study the relationship between frame and bounded linear operator in n-Hilbert space.

研究动机与目标

• 将框架理论从标准希尔伯特空间推广到配备n-内积和n-范数的n-希尔伯特空间。
• 在n-希尔伯特空间的背景下定义并研究框架和紧框架，将经典框架概念推广到高阶结构。
• 研究框架与有界线性算子之间的关系，特别是框架的像在何种条件下仍为框架。
• 通过预框架算子的满射性和伪逆的存在性，刻画n-希尔伯特空间中的框架。
• 建立序列相对于n-希尔伯特空间中固定(n−1)元组向量构成框架的必要与充分条件。

提出的方法

• 在一线性空间上定义n-内积和n-范数，满足包括线性相关性刻画和置换不变性在内的公理。
• 将n-希尔伯特空间中的框架概念定义为一个序列{f_i}，使得对所有f属于该空间，有A‖f|a₂,…,aₙ‖² ≤ ∑|⟨f,f_i|a₂,…,aₙ⟩|² ≤ B‖f|a₂,…,aₙ‖²。
• 定义预框架算子T_F: l²(ℕ) → X_F为T_F{c_i} = ∑c_i f_i，及其伴随算子（分析算子）T_F^*: H → l²(ℕ)。
• 利用框架算子S_F = T_F T_F^*刻画框架性质，证明其有界、正定、自伴且可逆。
• 应用伪逆算子U^†刻画预框架算子的满射性，并推导框架条件。
• 利用柯西-施瓦茨不等式和算子范数估计，从算子关系（特别是T_F T_F'^* = I_F）中推导出框架界。

实验结果

研究问题

• RQ1 序列在相对于n-希尔伯特空间中固定(n−1)元组向量时，需满足何种条件才能构成框架？
• RQ2 在有界线性算子作用下，框架的像在何种条件下仍为目标空间中的框架？
• RQ3 如何利用预框架算子刻画n-希尔伯特空间中的框架？
• RQ4 伪逆在n-希尔伯特空间中建立框架条件时起什么作用？
• RQ5 在n-希尔伯特空间设定下，何种条件下Bessel序列会成为框架？

主要发现

• 序列{f_i}在相对于(a₂,…,aₙ)的n-希尔伯特空间中构成框架，当且仅当其关联的预框架算子T_F是满射。
• 在n-希尔伯特空间设定下，框架算子S_F = T_F T_F^*是有界、正定、自伴且可逆的。
• 在有界线性算子U作用下，框架的像构成框架当且仅当U可逆。
• 若两个Bessel序列{f_i}和{g_i}的预框架算子满足T_F (T_F')^* = I_F，则两个序列均为框架，其下界分别为1/‖T_F'^*‖²和1/‖T_F^*‖²。
• n-希尔伯特空间中的框架条件由不等式‖f|a₂,…,aₙ‖² ≤ ‖T_F'^*‖² ∑|⟨f,f_i|a₂,…,aₙ⟩|²刻画，将算子范数与框架界联系起来。