[论文解读] Construction of isolated left orderings via partially central cyclic amalgamation

Tetsuya Ito|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2011

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的构造方法——部分中心循环黏合，用于生成群中的孤立左序，特别是构造出正锥有限生成的无中心群。通过使用非中心、共终元素作为连接器，将具有已知孤立序的群进行黏合，该方法生成了新例子，包括具有 $2(m-1)!$ 个不同 $G$-轨道的孤立序以及当参数互异时具有 $(m-1)!$ 个不同 $\textrm{Aut}(G)$-轨道的群。

ABSTRACT

We give a new method to construct isolated left orderings of groups whose positive cones are finitely generated. Our construction uses an amalgamated free product of two groups having an isolated ordering. We construct a lot of new examples of isolated orderings, and give an example of isolated left orderings having various properties which previously known isolated orderings do not have.

研究动机与目标

• 开发一种在群中系统构造孤立左序的一般方法，特别是针对正锥有限生成的情形。
• 解决真正孤立左序已知例子稀缺的问题，尤其是在无中心群中的情况。
• 通过在自由黏合积中引入非中心、共终元素，扩展现有构造方法。
• 探讨孤立序在群作用与自同构群作用下的轨道结构，量化其多样性。

提出的方法

• 利用两个群 $G_1$ 和 $G_2$ 的部分中心循环黏合，每个群均配备一个孤立左序。
• 在其中一个因子群 $H$ 中选择一个非中心、$<_{G}$-共终元素 $z_H$ 作为黏合元素。
• 应用定理 1.1 构造新群 $G = G_1 *_H G_2$，其具有孤立左序，且正锥有限生成。
• 利用乘法下对 $z_H$ 和 $z_H^k$ 的右不变性，确保所得正锥的正性。
• 通过新生成元重述所得群，揭示其结构特性，如平凡中心。
• 分析 $G$ 和 $\textrm{Aut}(G)$ 在 $\textrm{LO}(G)$ 上的作用，通过最小正元素计数孤立序的不同轨道。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过自由黏合积系统地在无中心群中构造孤立左序？
• RQ2 单一构造方法可产生多少个不同的 $G$-轨道的孤立左序？
• RQ3 选择非中心、共终元素在确保结果序的孤立性方面起什么作用？
• RQ4 自同构群作用是否能揭示超越群作用轨道的孤立序的额外多样性？
• RQ5 在何种条件下，黏合过程能保持正锥的孤立性与有限生成性？

主要发现

• 该构造生成一个无中心群 $H_{p,q,m,n} = \big\bracevert a,b,c \big\bracevert b^m = c^n, a^p = (bc)^q \big\}$，其具有孤立左序。
• 群 $H_{p,q,m,n}$ 的孤立左序的正锥由 $\{a(bc)^{1-q}, bc^{1-n}, c\}$ 生成，证实其有限生成性。
• 对于由 $m$ 个无限循环群沿一个公共元素黏合而成的群 $G$，至少存在 $2(m-1)!$ 个不同的 $G$-轨道的孤立左序。
• 当所有 $a_i$ 互异时，自同构群 $\textrm{Aut}(G)$ 在 $\textrm{LO}(G)$ 上的作用至少产生 $(m-1)!$ 个不同的轨道，这些轨道源自孤立序。
• 该方法推广了已知例子：Dubrovina-Dubrovin 序和 $\mathbb{Z}*_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}$ 序均作为特例被恢复。
• 该构造表明孤立序可存在于平凡中心的群中，填补了此类群已知图景中的空白。