[论文解读] Construction of Lyapunov functions for interconnected parabolic systems: an iISS approach

Andrii Mironchenko, Hiroshi Ito|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种小增益准则及构造性方法，用于建立非线性抛物型PDE系统中积分输入-状态稳定性（iISS）的Lyapunov函数。通过精心选择状态空间和输入空间（特别是Sobolev空间如$H^1_0$），该研究克服了无限维系统中的挑战，并将小增益定理扩展至其中一个子系统为iISS但非ISS的情形，从而实现了对高度非线性反应-扩散系统的鲁棒稳定性分析。

ABSTRACT

This paper is devoted to two issues. One is to provide Lyapunov-based tools to establish integral input-to-state stability (iISS) and input-to-state stability (ISS) for some classes of nonlinear parabolic equations. The other is to provide a stability criterion for interconnections of iISS parabolic systems. The results addressing the former problem allow us to overcome obstacles arising in tackling the latter one. The results for the latter problem are a small-gain condition and a formula of Lyapunov functions which can be constructed for interconnections whenever the small-gain condition holds. It is demonstrated that for interconnections of partial differential equations, the choice of a right state and input spaces is crucial, in particular for iISS subsystems which are not ISS. As illustrative examples, stability of two highly nonlinear reaction-diffusion systems is established by the the proposed small-gain criterion.

研究动机与目标

• 开发基于Lyapunov的工具，用于建立非线性抛物型PDE中的积分输入-状态稳定性（iISS）。
• 为非必然为ISS的iISS抛物系统互联提供稳定性准则。
• 解决时域空间不兼容性以及无限维iISS系统中max型Lyapunov函数不足的问题。
• 证明在分析非ISS的iISS系统时，选择合适的状态和输入空间（尤其是Sobolev空间）的必要性。
• 将小增益定理从有限维系统扩展至具有iISS子系统的无限维抛物系统。

提出的方法

• 受Sontag对双线性ODE方法的启发，为非线性抛物系统构造iISS的Lyapunov函数。
• 采用Sobolev空间$H^1_0(0,/pi)$作为状态空间和输入空间，以确保点乘有界性，克服$L_p$-空间的局限性。
• 应用Young不等式、$Σ$-不等式以及Poincaré/Friedrichs/Agmon不等式，以界定Lyapunov导数中的非线性项。
• 推导出一个小增益条件，确保互联系统的统一全局渐近稳定性（UGAS），即使其中一个子系统仅为iISS。
• 利用构造的Lyapunov函数验证UGAS，并通过Agmon不等式在$L_\infty$-范数下导出状态的$\mathcal{KL}$-界。
• 在两个具有非线性项而无法满足ISS的反应-扩散系统上验证该框架，表明在小增益条件下系统保持稳定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为非线性抛物型PDE构造Lyapunov函数以确保iISS，特别是在标准ISS工具失效时？
• RQ2 对于非ISS的iISS抛物系统，应如何选择合适的状态和输入空间，特别是在$L_p$-空间不足以满足需求时？
• RQ3 能否将小增益定理扩展至一个子系统为iISS、另一个为ISS的无限维系统？如何构造相应的Lyapunov函数？
• RQ4 Poincaré、Friedrichs和Agmon不等式在界定非线性项并确保Lyapunov分析中稳定性方面起到何种作用？
• RQ5 在互联抛物系统中，当一个子系统仅为iISS时，确保统一全局渐近稳定性（UGAS）的条件是什么？

主要发现

• 建立了一个小增益条件，即使其中一个子系统仅为iISS而非ISS，也能确保互联系统的统一全局渐近稳定性（UGAS）。
• 通过子系统的iISS Lyapunov函数与小增益条件，显式构造了互联系统的Lyapunov函数。
• 稳定性在状态空间$X = H^1_0(0,π) \times H^1_0(0,π)$上得到证明，表明Sobolev空间对于处理PDE中的非线性和有界乘积至关重要。
• 借助Agmon不等式，状态的$L_\infty$-范数被有界于初始状态范数的$\mathcal{KL}$-函数，确保了逐点稳定性。
• 该方法成功建立了两个高度非线性反应-扩散系统在非ISS条件下的iISS与UGAS，通过具体实例验证了该框架的有效性。
• 该框架克服了$L_p$-空间在PDE双线性项中失效的问题，表明Sobolev空间对于iISS系统鲁棒稳定性分析是必要的。