[论文解读] Construction of MDS Self-dual Codes over Finite Fields

Khawla Labad, Honwei Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文利用广义 Reed-Solomon (GRS) 和扩展 GRS 码，在奇特征有限域上构造了新的 MDS 自偶码类。通过应用自偶性的代数判别准则（推论 2.1 和 2.2），作者推导出四个定理，显著扩展了此类码的已知参数范围，尤其针对 $\mathbb{F}_{q}$ 这类平方域（$q = r^2$），相比以往工作（243 个码长）可产生多达 713 个不同的码长。

ABSTRACT

In this paper, we obtain some new results on the existence of MDS self-dual codes utilizing (extended) generalized Reed-Solomon codes over finite fields of odd characteristic. For some fixed $q$, our results can produce more classes of MDS self-dual codes than previous works.

研究动机与目标

• 扩展奇特征有限域上 MDS 自偶码存在性的已知结果。
• 基于广义和扩展 GRS 码，发展系统化构造方法，使其满足自偶性条件。
• 增加 $q$-元 MDS 自偶码的参数化类数量，尤其针对 $\mathbb{F}_{q}$ 这类平方域（$q = r^2$）。
• 通过拉格朗日插值积的代数准则，提供确保此类码存在的显式充分条件。

提出的方法

• 利用推论 2.1 和推论 2.2，它们给出了 (扩展) GRS 码为自偶码的充要条件，依据的是乘积 $L_{\mathbf{a}}(\alpha_i)$ 的符号。
• 在 $\mathbb{F}_q$ 中选择求值点 $\mathbf{a}$ 和权值 $\mathbf{v}$，使得对所有 $i$，有 $-L_{\mathbf{a}}(\alpha_i) \in \mathbb{F}_q^{*2}$（即乘法群中的平方元）。
• 使用结构化的元素集合：单位根、$\mathbb{F}_q$ 的子空间以及乘法子群的陪集，来定义 $\mathbf{a}$，以确保对称性并使乘积表达式易于处理。
• 利用二次特征和域自同构的性质，控制 $L_{\mathbf{a}}(\alpha_i)$ 的符号，特别是在 $q = r^2$ 或 $q = p^m$ 的情况下。
• 推导出参数的显式边界：$t \leq \frac{r-1}{\gcd(r-1,m)}$，$m \mid (q-1)$，以及 $tm$ 或 $\frac{q-1}{2t}$ 的奇偶性条件，以满足自偶性。
• 验证所得码的维数为 $n/2$，并达到 Singleton 界，从而确认其为 MDS 且自偶。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用 GRS 和扩展 GRS 码，在奇特征有限域上构造出新的 MDS 自偶码类？
• RQ2 在 $q$、$n$ 和码结构的哪些参数条件下，可确保 GRS 或扩展 GRS 码为自偶码？
• RQ3 与以往工作相比，新构造在产生不同码长的数量方面有何差异？
• RQ4 通过利用域结构和乘法子群，能否在特定 $q = r^2$ 情况下显著增加 $q$-元 MDS 自偶码的数量？

主要发现

• 当 $q = r^2$ 且 $r$ 为奇数时，定理 1 构造了长度为 $n = tm$ 的 MDS 自偶码，其中 $2 \leq t \leq \frac{r-1}{\gcd(r-1,m)}$ 且 $\frac{q-1}{m}$ 为偶数，其构造的码类数量超过以往工作。
• 定理 2 将此结果推广至 $n = tm + 1$ 的情形，要求 $tm$ 为奇数，$m \mid (q-1)$，且 $t$ 在相同范围内，再次产生新的码族。
• 定理 3 提供了 $n = tm + 2$ 的构造，要求 $tm$ 为偶数，且 $t$ 和 $m$ 满足相同的约束条件，进一步扩展了参数空间。
• 定理 4 在 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上构造了长度为 $n = 2tp^e$ 的码，其中 $2t \mid (p-1)$，$e < m$，且 $\frac{q-1}{2t}$ 为偶数，当 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 时可产生新的码族。
• 对于 $q = 151^2$，新构造产生的不同码长为 713 个，而以往所有已知结果（见表 1）仅产生 243 个。
• 结果在 [参考文献] 的先前构造基础上进行了推广和扩展，尤其针对平方域，通过引入基于结构化求值集和域论性质的新参数族。