[论文解读] Construction of MRD Codes Based on Circular-Shift Operations

Zhe Zhai, Sheng Jin+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2026

Coding theory and cryptography被引用 0

一句话总结

该论文提出基于循环移位的 MRD 码在域 F_q 上运算，避免在扩域上进行算术运算，从而实现高效编码，并与 Gabidulin 码进行了详细对比。

ABSTRACT

Most well-known constructions of $(N imes n, q^{Nk}, d)$ maximum rank distance (MRD) codes rely on the arithmetic of $\mathbb{F}_{q^N}$, whose increasing complexity with larger $N$ hinders parameter selection and practical implementation. In this work, based on circular-shift operations, we present a construction of $(J imes n, q^{Jk}, d)$ MRD codes with efficient encoding, where $J$ equals to the Euler's totient function of a defined $L$ subject to $\gcd(q, L) = 1$. The proposed construction is performed entirely over $\mathbb{F}_q$ and avoids the arithmetic of $\mathbb{F}_{q^J}$. We further characterize the constructed MRD codes, Gabidulin codes and twisted Gabidulin codes using a set of $q$-linearized polynomials over the row vector space $\mathbb{F}_{q}^N$, and clarify their inherent difference and connection. For the case $J eq m_L$, where $m_L$ denotes the multiplicative order of $q$ modulo $L$, we show that the proposed MRD codes, in a family of settings, are different from any Gabidulin code and any twisted Gabidulin code. For the case $J = m_L$, we prove that every constructed $(J imes n, q^{Jk}, d)$ MRD code coincides with a $(J imes n, q^{Jk}, d)$ Gabidulin code, yielding an equivalent circular-shift-based construction that operates directly over $\mathbb{F}_q$. In addition, we prove that under some parameter settings, the constructed MRD codes are equivalent to a generalization of Gabidulin codes obtained by summing and concatenating several $(m_L imes n, q^{m_Lk}, d)$ Gabidulin codes. When $q=2$, $L$ is prime and $n\leq m_L$, it is analyzed that generating a codeword of the proposed $((L-1) imes n, 2^{(L-1)k}, d)$ MRD codes requires $O(nkL)$ exclusive OR (XOR) operations, while generating a codeword of $((L-1) imes n, 2^{(L-1)k}, d)$ Gabidulin codes, based on customary construction, requires $O(nkL^2)$ XOR operations.

研究动机与目标

• 需要 MRD 码的构造和编码在 F_q 内完成，以简化参数选择与实现。
• 提出一种基于循环移位的构造，产生 (J x n, q^{Jk}, d) MRD 码，满足 n ≤ m_L ≤ J。
• 给出 P 和 Q 矩阵的两种实用设计，以确保 MRD 性质和高效结构。
• 用 q 线性化多项式，将所提码与 Gabidulin 及扭 Gabidulin 码表征并关联。
• 分析新码在何种参数下与 Gabidulin 码等同或不同，并探讨在特定参数域下的计算复杂度。

提出的方法

• 定义基于循环移位的秩度量码，构造一个由循环置换矩阵构成的 k×n 块矩阵 Ψ_{k×n}。
• 使用映射 Δ 将 Jn 维向量转换为 J×n 矩阵，并形成 C = {Δ(m(I_k⊗P)Ψ_{k×n}(I_n⊗Q)) : m ∈ F_q^{Jk}}。
• 通过 U、U′ 与 Vandermonde 矩阵设计 P ∈ F_q^{J×L}、Q ∈ F_q^{L×J}，以确保 MRD 性质（G_L、H_L 构造）。
• 在 q 线性化多项式框架下表示 Gabidulin 码，并通过对偶基与等价表示将其与新循环移位构造联系起来。
• 给出多项式描述，说明新码在何时与 Gabidulin 码或扭 Gabidulin 码不同或相同（特别是 J ≠ m_L 与 J = m_L 的情形）。
• 提供复杂度分析，在 q=2、L 为素数、n ≤ m_L 的时域下，生成一个 ((L-1)×n, 2^{(L-1)k}, d) MRD 码的码字需要 O(nkL) 次 XOR 操作。

实验结果

研究问题

• RQ1 循环移位构造能否在不进行 F_{q^{J}} 运算的前提下实现 MRD 性质？
• RQ2 在何种参数设置下新码与 Gabidulin 码或扭扭 Gabidulin 码相同或不同？
• RQ3 与传统 Gabidulin 基于编码的实现相比，循环移位 MRD 码在编码复杂度上有哪些优势，特别是当 q=2 且 L 为素数时？
• RQ4 P、Q 的选择（通过 G_L、H_L）如何影响 MRD 性质以及与 Gabidulin 码的关系？

主要发现

• 基于循环移位的构造给出一个在 F_q 上完全工作的 (J×n, q^{Jk}, d) MRD 码，n ≤ m_L ≤ J，避免 F_{q^J} 运算。
• 码的表征可通过一组在 F_q^N 上的 q-线性化多项式来实现，在多数参数域内其评估结果与 Gabidulin 及扭 Gabidulin 码不同。
• 当 J ≠ m_L 时，提出的 MRD 码在特定设定下可以与任何 Gabidulin 或扭 Gabidulin 码不同；给出明确示例，展示不同与相同的情况。
• 当 J = m_L 时，每个提出的 MRD 码都等同于 Gabidulin 码，提供了一种在 F_q 上工作的循环移位构造，避免 F_{q^{m_L}} 运算。
• 提出的 MRD 码可以等价于 Gabidulin 码的一种推广，即通过对若干大小为 m_L×n 的 Gabidulin 码进行求和/拼接来得到，揭示码族之间的更广泛联系。
• 对 q=2、L 为素数、n ≤ m_L 的情形，生成一个 ((L-1)×n, 2^{(L-1)k}, d) MRD 码的码字需要 O(nkL) 次 XOR，而对应的 Gabidulin 码需要 O(nkL^2) 次。