[论文解读] Construction of optimal locally repairable codes via automorphism groups of rational function fields

Lingfei Jin, Liming Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2017

Advanced Data Storage Technologies参考文献 12被引用 22

一句话总结

本论文通过利用有限域上分式函数域的自同构群，构建了具有小字母表大小的最优局部可修复码（LRCs）。通过利用 PGL₂(q) 的子群（如循环群和二面体群），作者提供了显式构造的 q 元 LRCs，实现了具有可逆局部性的 Singleton 型界，且码长 n ≤ q+1。

ABSTRACT

Locally repairable codes, or locally recoverable codes (LRC for short) are designed for application in distributed and cloud storage systems. Similar to classical block codes, there is an important bound called the Singleton-type bound for locally repairable codes. In this paper, an optimal locally repairable code refers to a block code achieving this Singleton-type bound. Like classical MDS codes, optimal locally repairable codes carry some very nice combinatorial structures. Since introduction of the Singleton-type bound for locally repairable codes, people have put tremendous effort on constructions of optimal locally repairable codes. Due to hardness of this problem, there are few constructions of optimal locally repairable codes in literature. Most of these constructions are realized via either combinatorial or algebraic structures. In this paper, we employ automorphism groups of rational function fields to construct optimal locally repairable codes by considering the group action on the projective lines over finite fields. It turns out that we are able to construct optimal locally repairable codes with reflexibility of locality as well as smaller alphabet size comparable to the code length. In particular, we produce new families of $q$-ary locally repairable codes, including codes of length $q+1$ via cyclic groups and codes via dihedral groups.

研究动机与目标

• 解决在分布式存储系统中构建具有小字母表大小和高效局部性的最优局部可修复码（LRCs）的挑战。
• 克服先前构造方法对指数级大字母表或限制性局部性条件的依赖。
• 通过代数几何和分式函数域的自同构群，推广现有构造方法。
• 通过 PGL₂(q) 的子群（包括循环群和二面体群）提供最优 LRCs 的显式、系统化构造。
• 建立在 PGL₂(q) 中存在大小为 r+1 的子群的前提下，确定长度 n ≤ q+1 且局部性为 r 的最优 LRCs 存在的条件。

提出的方法

• 利用有限域 𝔽_q(x) 上分式函数域的自同构群，通过在 𝔽_q 上的射影直线上的群作用构造 LRCs。
• 采用 PGL₂(q) 的子群（如循环群和二面体群）来定义具有可控分歧和分裂行为的函数域。
• 定义一个函数空间 V，其由 𝔽_q(z) 中系数的 x 的多项式构成，其中 z 是群作用下的不变函数。
• 从函数空间 V 和一组有理点集 𝔓 构造代数几何码 C(𝔓, V)，确保局部性和最优性。
• 使用 Riemann-Roch 定理估计码的维数和最小距离，验证其达到 Singleton 型界。
• 通过确保每个坐标可通过群作用结构从最多 r 个其他坐标恢复，验证码具有局部性 r。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过代数几何方法而非组合或编码理论构造，系统地构建最优局部可修复码？
• RQ2 在何种条件下，对于 q、r 和 n，存在 q 元最优 LRC，特别是当字母表大小与码长相当的情况下？
• RQ3 如何利用分式函数域的自同构群来确保 LRCs 中的可逆局部性和高效修复？
• RQ4 PGL₂(q) 的子群（如循环群和二面体群）在构造具有特定参数的 LRCs 中起到什么作用？
• RQ5 该构造能否推广到 PGL₂(q) 的所有子群？最优性的必要和充分条件是什么？

主要发现

• 当 PGL₂(q) 中存在大小为 r+1 的子群且 (r+1) 整除 n 时，长度 n ≤ q+1 且局部性为 r 的最优局部可修复码存在。
• 通过 PGL₂(q) 的循环群和二面体群子群，提供了显式构造的 q 元最优 LRCs，实现了 Singleton 型界。
• 当 q = 16 时，构造出一族最优 [12, 5t, 14−6t]-LRCs，局部性为 5，其中 1 ≤ t ≤ 2。
• 当 q = 64 时，构造出最优 64 元 LRCs，参数为 [60, 5t, 62−6t]（局部性 5，1 ≤ t ≤ 10）、[56, 13t, 58−14t]（局部性 13，1 ≤ t ≤ 4）和 [54, 17t, 56−18t]（局部性 17，1 ≤ t ≤ 3）。
• 当 q = 64 且 h | 65 时，构造出最优 64 元 LRCs，参数为 [50, 9t, 52−10t]（局部性 9，1 ≤ t ≤ 5）和 [26, 25, 2]（局部性 25）。