[论文解读] Construction of Parametric Barrier Functions for Dynamical Systems using Interval Analysis

Adel Djaballah, Alexandre Chapoutot+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2015

Formal Methods in Verification参考文献 31被引用 8

一句话总结

本文提出了一种基于区间分析的新方法，用于构建非线性连续时间动力系统的参数化屏障函数，将设计问题形式化为量化约束满足问题（QCSP），并通过使用收缩器（contractors）增强分支定界算法，高效搜索有效参数。该方法在无需松弛的情况下成功验证了复杂非多项式系统的安全性，相较于现有工具RSolver在非线性、非凸问题上表现更优。

ABSTRACT

Recently, barrier certificates have been introduced to prove the safety of continuous or hybrid dynamical systems. A barrier certificate needs to exhibit some barrier function, which partitions the state space in two subsets: the safe subset in which the state can be proved to remain and the complementary subset containing some unsafe region. This approach does not require any reachability analysis, but needs the computation of a valid barrier function, which is difficult when considering general nonlinear systems and barriers. This paper presents a new approach for the construction of barrier functions for nonlinear dynamical systems. The proposed technique searches for the parameters of a parametric barrier function using interval analysis. Complex dynamics can be considered without needing any relaxation of the constraints to be satisfied by the barrier function.

研究动机与目标

• 为解决传统可达性分析在非线性连续时间动力系统中引入过度近似的问题。
• 开发一种通用方法，用于构造不局限于多项式动力学或屏障形式的参数化屏障函数。
• 使用区间分析和收缩器求解屏障函数设计中出现的量化约束满足问题（QCSP）。
• 通过先进的剪枝技术提升高维参数空间下的计算效率与可扩展性。
• 在基准示例上展示该方法的有效性，包括非多项式系统及带有有界扰动的系统。

提出的方法

• 将屏障函数设计形式化为量化约束满足问题（QCSP），目标是寻找使得屏障函数将初始状态区域与不安全区域分离的参数。
• 采用基于CSC-FPS框架的分支定界算法，并通过引入收缩器来剪枝参数空间中不可行的区域。
• 应用收缩器通过消除违反屏障条件的参数值来缩小搜索空间，显著提升收敛性。
• 直接处理非多项式动力学和非凸约束，避免松弛操作对解质量的劣化。
• 通过区间算术实现算法，确保所有计算均具有严格边界，保持数值正确性。
• 在七个示例上评估该方法，包括非线性和混合系统，与RSolver及松弛化形式进行对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 结合收缩器的区间分析能否有效求解非线性动力系统中参数化屏障函数设计的QCSP？
• RQ2 与标准分支定界法相比，引入收缩器在屏障函数搜索的效率和成功率方面有何提升？
• RQ3 该方法在无需松弛的情况下，对非多项式动力学和非凸约束的处理能力如何？
• RQ4 与RSolver相比，该方法在性能和解质量方面表现如何，特别是在非线性参数化屏障问题上？
• RQ5 该方法在状态空间和参数空间维度上的可扩展性如何？

主要发现

• 在所有测试示例中，引入收缩器后计算时间从超过30分钟（超时）缩短至100秒以内，效率显著提升。
• 对于示例5.1，计算时间从36秒降至16秒，且二等分次数从4520次略微增加至4553次，表明剪枝效果更优。
• 该方法成功为全部七个示例找到了有效的屏障函数，包括洛伦兹系统等非多项式系统，而松弛化形式在30分钟内未能收敛。
• RSolver在示例5.4和5.5中未能找到解，这两个示例涉及非线性约束和非线性参数化屏障，凸显了线性参数化工具的局限性。
• 该方法在6维状态空间与7个参数的情况下表现出可扩展性，使用收缩器后12分钟内完成求解。
• 图形结果确认，计算得到的屏障函数正确地将初始区域（绿色）与不安全区域（红色）分离，轨迹始终位于安全侧。