[论文解读] Construction of program control with probability one for a dynamical system with Poisson perturbations

Elena Karachanskaya|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2011

Advanced Data Processing Techniques被引用 4

一句话总结

本文提出了一种方法，通过利用伊tô型SDEs中非中心化Poisson测度的随机首次积分概念，为受Wiener和Poissonian扰动的动态系统构造概率为1的程序控制。该方法确保给定函数沿样本路径几乎必然保持恒定，从而在存在随机扰动的情况下设计出维持系统不变量的控制律，其显式构造公式基于系统系数的雅可比矩阵与矩阵行列式条件。

ABSTRACT

In article we construct the program control with probability one for a dynamical system with Poisson perturbations.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于在联合Wiener和Poissonian随机扰动下设计保持系统不变量概率为1的程序控制。
• 将随机首次积分理论扩展至具有非中心化Poisson测度的系统，消除对指定强度密度函数的依赖。
• 提供漂移和扩散系数的显式代数条件，以保证给定函数为随机首次积分。
• 实现控制系统的构造，使得不变量函数几乎必然保持恒定，从而增强对随机跳跃和扩散的鲁棒性。
• 通过基于自同态函数算法和矩阵余子式的一致框架，将现有针对Wiener驱动系统的求解方法推广至包含跳跃过程的情形。

提出的方法

• 该方法基于具有Wiener和非中心化Poissonian噪声的SDE的随机首次积分定义，要求满足三个条件：扩散补偿为零、时间不变性以及在Poisson跳跃下的不变性。
• 系统的漂移系数A(t; x)被构造为基向量场R(t; x)与涉及扩散矩阵Bk(t; x)的雅可比矩阵的修正项之和，以确保首次积分条件成立。
• 扩散矩阵Bk(t; x)由矩阵H(t; x)的余子式导出，其中H(t; x)的第一行为标准基向量e₀，第二行为首次积分u(t; x)的梯度，其余行由辅助函数fi(t; x)定义。
• 矩阵H(t; x)的构造方式使得其行列式及余子式矩阵C(t; x)的逆矩阵被用于通过关系式C⁻¹(t; x) · det H(t; x) = e₀ + ... 表达漂移向量A(t; x)。
• 通过求解一组方程将漂移项与首次积分的偏导数及矩阵行列式表达式相等，推导出控制律，从而实现对控制参数的显式参数化。
• 该方法允许任意选择函数fi(t; x)和q₀₀(t; x)，以根据特定建模或实现需求（如数值稳定性或简洁性）定制控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有非中心化Poisson测度的SDE系统定义并表征随机首次积分？
• RQ2 漂移、扩散和跳跃系数的哪些代数条件可确保给定函数沿样本路径几乎必然保持恒定？
• RQ3 能否系统性地构造一个控制系统，使得在联合Wiener和Poissonian扰动下，期望的不变量函数以概率1被保持？
• RQ4 与以往需要已知Poisson测度强度密度函数的方法相比，该方法有何不同？
• RQ5 矩阵H(t; x)及其行列式在漂移和扩散系数的显式构造中起什么作用？

主要发现

• 本文确立了函数u(t; x)是随机首次积分的充要条件为满足三个条件：Wiener噪声的零补偿、时间不变性以及在Poisson跳跃下的不变性。
• 漂移系数A(t; x)被显式构造为A(t; x) = R(t; x) + ½ ∑ₖ [∂Bₖ/∂x] Bₖ(t; x)，其中R(t; x)由矩阵H(t; x)的余子式矩阵的逆矩阵导出。
• 扩散矩阵Bₖ(t; x)由矩阵H(t; x)的余子式确定，该矩阵整合了首次积分的梯度和辅助函数fi(t; x)。
• 系统的系数完全由首次积分函数u(t; x)和辅助函数fi(t; x)的选择决定，从而允许灵活设计控制律。
• 所得到的控制系统确保首次积分几乎必然保持恒定，为构造概率为1的程序控制提供了机制。
• 提供了一个显式例子，其中首次积分为u(t; x) = x₁ + x₂，导出一个具有闭式解的控制系统，其漂移和扩散项以状态变量的指数和对数函数形式表达。