[论文解读] Construction of quantum dark soliton in one-dimensional Bose gas

Eriko Kaminishi, Takashi Mori+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2018

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 4

一句话总结

该论文通过将一维玻色气体中的量子暗孤子解释为玻色-爱因斯坦凝聚到经典暗孤子的单体波函数中，构建了该量子暗孤子。研究表明，该态可用 yrast 态的高斯叠加态良好近似，在弱耦合区域中，其寿命比以往构造更长，且衰变时间与耦合常数成反比，同时与经典孤子密度分布高度一致。

ABSTRACT

Dark soliton solutions in the one-dimensional classical nonlinear Schrödinger equation has been considered to be related to the yrast states corresponding to the type-II excitations in the Lieb-Liniger model. However, the relation is nontrivial and remains unclear because a dark soliton localized in space breaks the translation symmetry, while yrast states are translationally invariant. In this work, we construct a symmetry-broken quantum soliton state and investigate the relation to the yrast states. By interpreting a quantum dark soliton as a Bose-Einstein condensation to the wave function of a classical dark soliton, we find that the quantum soliton state has a large weight only on the yrast states, which is analytically proved in the free-boson limit and numerically verified in the weak-coupling regime. By extending these results, we derive a parameter-free expression of a quantum soliton state that is written as a superposition of yrast states with Gaussian weights. The density profile of this quantum soliton state excellently agrees to that of the classical dark soliton. The dynamics of a quantum dark soliton is also studied, and it turns out that the density profile of a dark soliton decays, but the decay time increases as the inverse of the coupling constant in the weak-coupling limit.

研究动机与目标

• 解决长期以来在一维玻色气体中构造对应于经典暗孤子的宇称破缺量子态的难题。
• 阐明 Lieb-Liniger 模型中 yrast 态与经典暗孤子之间的量子-经典对应关系。
• 提供一种理论合理、无参数的量子暗孤子态构造方法，使其能重现孤子的密度分布和动力学行为。
• 证明该量子孤子态的寿命长于基于 yrast 态傅里叶变换的先前构造方法。

提出的方法

• 将量子暗孤子解释为玻色-爱因斯坦凝聚到经典暗孤子解的单体波函数中。
• 通过 yrast 态的高斯叠加态构造量子态，其中动量均值为 P，方差 σP² ∝ c^{1/4}，适用于弱耦合区域。
• 采用具有周期性边界条件的 Lieb-Liniger 模型，并在自由玻色子极限和弱耦合区域通过解析与数值方法推导该态。
• 通过与经典暗孤子解对比，验证所构造态的密度分布，显示极佳一致性。
• 通过计算能量方差 ΔE 和寿命 τ 分析动力学行为，发现在弱耦合极限下 τ ∝ 1/c。
• 通过在相同测量标准下比较衰变时间，将新态与先前构造（如 Sato 等人）进行对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一个量子暗孤子态，使其在由平移不变的 yrast 态组成的同时打破平移对称性？
• RQ2 yrast 态的何种精确叠加结构能重现经典暗孤子的密度分布？
• RQ3 在弱耦合区域中，量子暗孤子的寿命如何依赖于相互作用强度 c？
• RQ4 该量子孤子态能否被解释为对 yrast 态进行连续位置测量的结果？其与高斯叠加构造的关系如何？

主要发现

• 在弱耦合区域，量子暗孤子态可良好近似为均值动量为 P、方差 σP² = 4γ³ρ₀√(ρ₀c)/3 的 yrast 态高斯叠加态。
• 所构造的量子孤子态的密度分布与经典暗孤子解高度一致。
• 量子孤子态的衰变时间与耦合常数 c 成反比，τ ≈ 3π/(2γ²ρ₀c)，在弱耦合极限下确认 τ ∝ 1/c。
• 数值结果表明，新孤子态的衰变速度慢于 Sato 等人基于傅里叶变换的构造，当 c = 0.01 时，其衰变时间约为 600，而后者约为 100。
• 在自由玻色子极限（c = 0）下，理论上证明该量子孤子态几乎完全由 yrast 态组成。
• 通过 yrast 态的高斯叠加构造的态被证明是连续位置测量动力学的精确解，经过 N−N′ 次测量后，系统以概率 1 处于 |N′,X;P⟩ 态。