[论文解读] Construction of Quasi-Cyclic Product Codes

Alexander Zeh, San Ling|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文提出了一种构造性方法，通过结合以有限域上多项式环中的约化Gröbner基表示的ℓ-准循环码（采用RGB/POT形式）和以生成多项式表示的循环码，生成准循环乘积码。主要贡献在于为所得乘积码提供了显式的基表示，并为单层准循环乘积码的特殊情况推导出约化Gröbner基，从而实现高效译码与距离分析。

ABSTRACT

Linear quasi-cyclic product codes over finite fields are investigated. Given the generating set in the form of a reduced Gr{ö}bner basis of a quasi-cyclic component code and the generator polynomial of a second cyclic component code, an explicit expression of the basis of the generating set of the quasi-cyclic product code is given. Furthermore, the reduced Gr{ö}bner basis of a one-level quasi-cyclic product code is derived.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，从一个准循环码和一个循环码组件构造准循环乘积码。
• 利用约化Gröbner基技术，为乘积码的生成集提供显式基表示。
• 为单层准循环乘积码推导出约化Gröbner基，以促进译码与距离估计。
• 利用有限域上的代数结构，推广先前关于循环码与准循环码乘积码的研究成果。

提出的方法

• 基于有限域上多项式环中的约化Gröbner基，以RGB/POT形式表示ℓ-准循环码。
• 将准循环码的码字表示为系数属于商环R = F_q[X]/⟨X^m - 1⟩的X的多项式。
• 利用循环码的生成多项式g^B(Y)通过张量积构造定义乘积码结构。
• 应用模最小化与行变换操作，将生成集约化为最小基，尤其针对1层码。
• 通过指数运算与模约化变换分量码的生成元，推导出乘积码的基。
• 建立乘积码生成多项式的闭式表达式，模X^{ℓm} - 1有效。

实验结果

研究问题

• RQ1 当一个分量码为准循环码而另一个为循环码时，如何显式构造准循环乘积码？
• RQ2 所得乘积码的生成集结构在Gröbner基表示下如何？
• RQ3 能否为单层准循环乘积码推导出约化Gröbner基，以简化译码与分析？
• RQ4 分量码的代数结构如何影响乘积码的参数，如最小距离与码率？
• RQ5 生成多项式与指数变换在构造乘积码基中起什么作用？

主要发现

• 本文利用A的约化Gröbner基与B的生成多项式，为ℓ-准循环乘积码A⊗B（其中A为ℓ-准循环码，B为循环码）提供了显式基表示。
• 对于单层准循环乘积码的特殊情况，推导出约化Gröbner基，从而实现高效译码与最小距离分析。
• 证明了乘积码的生成多项式可表示为F_q上最小多项式的乘积，具体为m_0^{⟨51⟩}(X)至m_19^{⟨51⟩}(X)，得到一个[51,9,11]_2码。
• 显式构造出长度为51、维度为9、最小距离为11的二元2-准循环乘积码，验证了该方法的实际可行性。
• 该方法使乘积码可表示为RGB/POT形式，且生成多项式g_{0,0}(X)与g_{0,1}(X)在模X^{51}+1下显式计算得出。
• 基约化过程表明，可通过行变换消除线性相关性，从而得到乘积码的最小生成集。