[论文解读] Construction of scalar and vector finite element families on polygonal and polyhedral meshes

Andrew Gillette, Alexander Rand+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 4

一句话总结

本文使用广义重心坐标，在一般凸多边形和多面体网格上构造了相容的标量和向量有限元基，将经典的 Nédélec、Raviart-Thomas 和 Brezzi-Douglas-Marini 元素推广至非单纯形网格。该方法确保了微分形式的全局连续性和多项式再现性，将 Whitney 形式推广至非单纯形元并具备可证明的收敛性。

ABSTRACT

We combine theoretical results from polytope domain meshing, generalized barycentric coordinates, and finite element exterior calculus to construct scalar- and vector-valued basis functions for conforming finite element methods on generic convex polytope meshes in dimensions 2 and 3. Our construction recovers well-known bases for the lowest order N\\'ed\\'elec, Raviart-Thomas, and Brezzi-Douglas-Marini elements on simplicial meshes and generalizes the notion of Whitney forms to non-simplicial convex polygons and polyhedra. We show that our basis functions lie in the correct function space with regards to global continuity and that they reproduce the requisite polynomial differential forms described by finite element exterior calculus. We present a method to count the number of basis functions required to ensure these two key properties.

研究动机与目标

• 开发适用于非结构化多边形和多面体网格的相容有限元方法，将经典有限元推广至非单纯形元之外。
• 利用广义重心坐标，将有限元外微分形式理论推广至非单纯形凸多面体。
• 构造保持全局连续性并能再现 $\mathcal{P}_1^{-}\Lambda^k$ 和 $\mathcal{P}_1\Lambda^k$ 空间所需多项式微分形式的局部基函数。
• 提供一种系统化方法，用于计算满足连续性和多项式再现要求所需的基函数数量。
• 通过识别不影响单元间连续性的可约简基分量，实现复杂网格上实用的有限元方法。

提出的方法

• 在凸多面体上使用广义重心坐标（Wachspress、Sibson、调和与平均值坐标）定义标量和向量有限元的局部基函数。
• 将基函数构造为重心坐标及其梯度或旋度的乘积，以确保与有限元外微分形式理论中微分形式的兼容性。
• 应用多面体网格化与广义重心坐标的相关理论结果，确保所得基函数属于正确的函数空间（$H^1$、$H(\text{curl})$、$H(\text{div})$）。
• 推导出每个微分形式次数 $k$ 和网格维数 $n=2,3$ 所需基函数数量的显式公式，区分总数、边界和多项式再现分量。
• 提出一种基于顶点、边和面计数的计数方法，以量化基的大小并识别不贡献于单元间连续性的冗余函数。
• 通过证明基函数在多面体网格上能再现 $\mathcal{P}_1^{-}\Lambda^k$ 和 $\mathcal{P}_1\Lambda^k$ 多项式微分形式，验证了构造的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义重心坐标能否用于在任意凸多边形和多面体网格上构造标量与向量问题的相容有限元基？
• RQ2 所得基函数在非单纯形单元上是否保持正确的全局连续性（$H^1$、$H(\text{curl})$、$H(\text{div})$）？
• RQ3 基函数能否在多面体网格上再现 $\mathcal{P}_1^{-}\Lambda^k$ 和 $\mathcal{P}_1\Lambda^k$ 空间的多项式微分形式？
• RQ4 满足连续性和多项式再现所需的最小基函数数量是多少？如何识别冗余性？
• RQ5 基的大小如何随网格复杂度变化？在哪些情况下可显著减少基的大小而不影响连续性？

主要发现

• 该构造将经典最低阶有限元（Nédélec、Raviart-Thomas、BDM）推广至非单纯形单元的凸多边形和多面体，使用广义重心坐标。
• 成功构造了 $\mathcal{P}_1^{-}\Lambda^k$ 和 $\mathcal{P}_1\Lambda^k$ 空间的基函数，并证明其属于正确的函数空间，具备所需的全局连续性。
• 在三维六面体单元中，$\mathcal{P}_1\Lambda^1$ 基包含 56 个函数，但仅有 48 个对单元间连续性有贡献，表明存在基的约简潜力。
• 在多边形和多面体上的 $k=2$ 情况中，无需单元间连续性，因此无需使用完整基大小，不连续伽辽金方法可能更具实用性。
• $k=0$ 基无法约简，因为每个基函数 $\lambda_i$ 均对 $H^1$-连续性有贡献；但非单纯形单元上的 $k=1$ 和 $k=2$ 情况允许显著减少基的大小。
• 该方法提供了基于顶点、边和面贡献的显式基函数计数公式，可系统分析基的大小与冗余性。