[论文解读] Construction of the pseudo Riemannian geometry on the base of the Berwald-Moor geometry

G. I. Garas'ko, D. G. Pavlov|ArXiv.org|Sep 5, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 2被引用 4

一句话总结

该论文通过切触指标张量和世界函数，从伯瓦尔德-莫尔芬斯勒空间构建了四维伪黎曼时空几何。通过在超复数 $ H_4 $ 代数中破坏解析性，该模型在低速极限下生成了非相对论性的牛顿引力势，表明具有伯瓦尔德-莫尔度量的芬斯勒几何可在低速极限下产生类似爱因斯坦的引力。

ABSTRACT

The space of the associative commutative hyper complex numbers, H_4, is a 4-dimensional metric Finsler space with the Berwald-Moor metric. It provides the possibility to construct the tensor fields on the base of the analytical functions of the H_4 variable and also in case when this analyticity is broken. Here we suggest a way to construct the metric tensor of a 4-dimensional pseudo Riemannian space (space-time) using as a base the 4-contravariant tensor of the tangent indicatrix equation of the Berwald-Moor space and the World function. The Berwald-Moor space appears to be closely related to the Minkowski space. The break of the analyticity of the World function leads to the non-trivial curving of the 4-dimensional space-time and, particularly, to the Newtonian potential in the non-relativistic limit.

研究动机与目标

• 通过底层为四维芬斯勒空间且具有伯瓦尔德-莫尔度量的结合性、交换性超复代数 $ H_4 $，建立时空的几何基础。
• 从伯瓦尔德-莫尔切触指标的四阶协变张量和世界函数，推导出四维时空中的伪黎曼度量张量。
• 探讨在 $ H_4 $-取值函数中破坏解析性如何导致非相对论极限下的曲率与引力效应。
• 证明所得几何结构在弱场极限下重现牛顿引力势，从而将芬斯勒几何与经典引力联系起来。

提出的方法

• 该构造使用切触指标方程 $ g^{ijkl}p_ip_jp_kp_l - 1 = 0 $，其中 $ g^{ijkl} $ 由伯瓦尔德-莫尔度量的四阶张量导出。
• 四维伪黎曼时空的度量张量通过 $ g_{ij} = g_{ijkl}f^k_{(1)}f^l_{(2)} $ 构造，其中使用了 $ H_4 $ 变量中的解析函数分量。
• 由 $ H_4 $-解析函数导出的世界函数 $ S $，通过引入参数 $ \alpha_A $ 破坏解析性，从而诱导曲率。
• 对伯瓦尔德-莫尔长度元进行共形变换，将芬斯勒结构映射为伪黎曼时空几何。
• 通过将拉格朗日量按 $ v/c $ 的幂次展开，保留至 $ (v/c)^2 $ 项，分析非相对论极限，并识别有效势能。
• 最终得到的势能 $ U(r) = -\gamma mM / r $ 由基于 $ H_4 $ 的几何结构导出，证实了在弱场极限下牛顿引力的成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 $ H_4 $-代数结构，从伯瓦尔德-莫尔芬斯勒空间一致地导出四维伪黎曼时空几何？
• RQ2 在 $ H_4 $-取值函数中破坏解析性如何影响所得时空几何并诱导曲率？
• RQ3 所导出的几何结构是否在非相对论极限下重现牛顿引力势？
• RQ4 世界函数及其共形变换在从芬斯勒结构生成伪黎曼度量中起什么作用？
• RQ5 具有伯瓦尔德-莫尔度量的芬斯勒几何能否作为时空的基本几何模型，在适当极限下还原为爱因斯坦引力？

主要发现

• 该模型成功地利用伯瓦尔德-莫尔切触指标的四阶协变张量和世界函数，构建了四维时空中的伪黎曼度量张量。
• 在 $ H_4 $-取值函数中破坏解析性导致非平凡的时空曲率，所诱导的势能与非相对论极限下的牛顿引力势 $ U(r) = -\gamma mM / r $ 一致。
• 该势能通过 $ \psi(r) = \pm \frac{2\sqrt{2\gamma M}}{3\nu} r^{1/2} + \psi_0 $ 从基于 $ H_4 $ 的几何结构导出，将世界函数与引力动力学联系起来。
• 由度量导出的拉格朗日量重现了标准的非相对论形式 $ L = \frac{1}{2}m\vec{v}^2 - U(\vec{x}) $，证实了与经典力学的一致性。
• 对伯瓦尔德-莫尔长度元的共形变换将芬斯勒结构映射为描述中心质量开普勒问题的伪黎曼几何。
• 该构造表明，具有伯瓦尔德-莫尔度量的芬斯勒空间可在适当极限下产生已知的相对论解，暗示了更深层次的几何统一。