[论文解读] Construction of Z4-linear Reed-Muller codes

Jaume Pujol, Josep Rifà+1 more|ArXiv.org|Jan 19, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文通过四元 Plotkin 类型构造方法，引入了一类新的 ${\mathbb{Z}}_4$-线性 Reed-Muller 码，确保在 Gray 映射下，所得二元码与经典二元线性 Reed-Muller 码具有相同的参数和结构特性（包括对偶性和包含关系）。主要贡献在于一种系统化构造方法，其中一阶码和 $(m-2)$-阶码分别映射为 ${\mathbb{Z}}_4$-线性 Hadamard 码和扩展的 1-完美码。

ABSTRACT

New quaternary Plotkin constructions are given and are used to obtain new families of quaternary codes. The parameters of the obtained codes, such as the length, the dimension and the minimum distance are studied. Using these constructions new families of quaternary Reed-Muller codes are built with the peculiarity that after using the Gray map the obtained Z4-linear codes have the same parameters and fundamental properties as the codes in the usual binary linear Reed-Muller family. To make more evident the duality relationships in the constructed families the concept of Kronecker inner product is introduced.

研究动机与目标

• 构建新的 ${\mathbb{Z}}_4$-线性码族，其 Gray 映射像复现经典二元线性 Reed-Muller（RM）码的参数和基本性质。
• 将二元 Plotkin 构造推广至四元域，用于 ${\mathbb{Z}}_4$-线性码，实现 RM 类码族的系统化生成。
• 在 ${\mathbb{Z}}_4$-线性设定下，利用 Kronecker 内积定义对偶关系，镜像二元 RM 码的对偶性。
• 确保新码族中的一阶码和 $(m-2)$-阶码在 Gray 映射下分别映射为 ${\mathbb{Z}}_4$-线性 Hadamard 码和扩展的 1-完美码。

提出的方法

• 作者提出一种基于生成矩阵 Kronecker 积的四元 Plotkin 构造，将二元 Plotkin 方法推广至 ${\mathbb{Z}}_4$ 域。
• 他们定义了一类新的 ${\mathbb{Z}}_4$-线性码 ${\mathcal{RM}}_s(r,m)$，其中 $0 \leq r \leq m$ 且 $0 \leq s \leq \lfloor (m-1)/2 \rfloor$，通过递归矩阵构造实现。
• 引入 Kronecker 内积以在 ${\mathbb{Z}}_4$-线性设定下定义对偶性，确保 ${\mathcal{RM}}_s(r,m)$ 与 ${\mathcal{RM}}_s(m-1-r,m)$ 互为对偶码。
• 应用 Gray 映射 $\Phi$ 将 ${\mathbb{Z}}_4$-线性码转换为二元码，保持长度、维数和最小距离不变。
• 利用单项等价性构造另一组码族 $\overline{{\mathcal{RM}}}_s(r,m)$，使其在标准内积下与 ${\mathcal{RM}}_s(m-1-r,m)$ 互为对偶。
• 通过归纳法验证构造过程，证明所得码满足与经典二元 RM 码相同的包含关系、对偶性和参数特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过四元域下的二元 Plotkin 构造推广，得到 Gray 映射像与经典二元线性 Reed-Muller 码参数一致的 ${\mathbb{Z}}_4$-线性码？
• RQ2 新码族中的一阶码和 $(m-2)$-阶码在 Gray 映射下是否分别映射为 ${\mathbb{Z}}_4$-线性 Hadamard 码和扩展的 1-完美码？
• RQ3 能否在 ${\mathbb{Z}}_4$-线性设定下定义一种对偶关系，使其镜像二元 RM 码的对偶性？
• RQ4 能否构造一类 ${\mathbb{Z}}_4$-线性码，使其具有与二元 RM 码相同的包含关系、维数和最小距离递推规律？

主要发现

• 所构造的 ${\mathbb{Z}}_4$-线性 Reed-Muller 码 ${\mathcal{RM}}_s(r,m)$ 的长度为 $n = 2^m$，维数为 $k = \sum_{i=0}^r \binom{m}{i}$，最小距离为 $d = 2^{m-r}$，与经典二元 RM 码的参数完全一致。
• 一阶码 ${\mathcal{RM}}_s(1,m)$ 在 Gray 映射下映射为 ${\mathbb{Z}}_4$-线性 Hadamard 码，$(m-2)$-阶码 ${\mathcal{RM}}_s(m-2,m)$ 映射为 ${\mathbb{Z}}_4$-线性扩展 1-完美码。
• ${\mathcal{RM}}_s(r,m)$ 与 ${\mathcal{RM}}_s(m-1-r,m)$ 在 Kronecker 内积下互为对偶码，复现了二元 RM 码的对偶性。
• ${\mathcal{RM}}_s(0,m)$ 是由全 2 向量生成的重复码，${\mathcal{RM}}_s(m,m)$ 是整个空间 ${\mathbb{Z}}_4^{2^{m-1}}$。
• 当 $r > 0$ 时，${\mathcal{RM}}_s(r-1,m)$ 是 ${\mathcal{RM}}_s(r,m)$ 的子码，保持了与二元 RM 码相同的包含层次结构。
• 构造了一类替代码族 $\overline{{\mathcal{RM}}}_s(r,m)$，其与 ${\mathcal{RM}}_s(r,m)$ 单项等价，且在标准内积下与 ${\mathcal{RM}}_s(m-1-r,m)$ 互为对偶。