[论文解读] Constructions of complementary sequence sets and complete complementary codes by 2-level autocorrelation sequences and permutation polynomials

Zilong Wang, Guang Gong|arXiv (Cornell University)|May 12, 2020

PAPR reduction in OFDM参考文献 39被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新颖的代数框架，将二水平自相关序列、有限域上的置换多项式以及广义Reed-Muller（GRM）码联系起来，用于构建互补序列集（CSSs）和完整互补码（CCCs）。通过利用Butson型Hadamard矩阵的结构以及序列的迹表示，本文证明了CSS和CCC构造中的δ-二次项源自置换多项式的乘积，从而解决了关于CCCs与二水平自相关序列之间联系的开放性问题，并实现了具有低PMEPR和强纠错能力的新构造方法。

ABSTRACT

In this paper, a recent method to construct complementary sequence sets and complete complementary codes by Hadamard matrices is deeply studied. By taking the algebraic structure of Hadamard matrices into consideration, our main result determine the so-called $δ$-linear terms and $δ$-quadratic terms. As a first consequence, a powerful theory linking Golay complementary sets of $p$-ary ($p$ prime) sequences and the generalized Reed-Muller codes by Kasami et al. is developed. These codes enjoy good error-correcting capability, tightly controlled PMEPR, and significantly extend the range of coding options for applications of OFDM using $p^n$ subcarriers. As another consequence, we make a previously unrecognized connection between the sequences in CSSs and CCCs and the sequence with 2-level autocorrelation, trace function and permutation polynomial (PP) over the finite fields.

研究动机与目标

• 建立互补序列集（CSSs）和完整互补码（CCCs）与具有二水平自相关特性、迹函数以及置换多项式（PPs）的序列之间的理论联系。
• 解决Paterson和Tarokh（2000年）提出的关于CSS/CCCs中序列与二水平自相关序列之间结构联系的开放性问题。
• 提出一种系统化方法，利用Butson型Hadamard矩阵的代数结构以及δ-线性/δ-二次项，构建CSSs和CCCs。
• 通过利用p元序列实现受控PMEPR和强纠错能力，拓展OFDM系统的编码选项范围。

提出的方法

• 本文利用Butson型Hadamard（BH）矩阵的代数结构，显式刻画了CSS和CCC构造中的δ-线性和δ-二次项。
• 通过有限域上的迹函数表示CSS和CCC中的序列，其中二水平自相关序列的迹表示被用于生成BH矩阵。
• δ-二次项源自有限域F_{p^n}上置换多项式（PPs）的乘积，关键洞察在于：F_{p^n}上任意两个PPs均可生成有效的δ-二次项。
• 当p=2时，该方法利用双射广义布尔函数（GBFs）实现置换函数；当p为奇素数时，则使用F_p上的PPs。
• 该构造基于Kasami等人提出的广义Reed-Muller（GRM）码，其中δ-线性项构成(p-1)阶第二类GRM码的一个线性子码。
• 该方法通过用有限域和PPs的代数结构替代Kronecker-delta基函数，避免了暴力计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用Hadamard矩阵的代数结构，显式刻画CSS和CCC构造中的δ-线性和δ-二次项？
• RQ2 CSS和CCC中的序列与具有二水平自相关特性、迹函数以及有限域上置换多项式的序列之间存在何种联系？
• RQ3 能否利用有限域理论解决关于CCCs与二水平自相关序列之间结构联系的开放性问题？
• RQ4 所构造的CSS和CCC的纠错能力如何与其代数结构及汉明距离相关联？
• RQ5 能否从已知的二水平自相关序列和PPs出发，推导出用于OFDM系统的新型低PMEPR序列构造？

主要发现

• 长度为p^m的p元序列中的δ-线性项构成(p-1)阶第二类广义Reed-Muller码的一个线性子码，包含p^{m(p-1)+1}个元素。
• δ-二次项被显式表示为F_{p^n}上任意两个置换多项式的乘积，从而实现了新CSS和CCC的系统化构造。
• 当p=2时，δ-二次项由双射广义布尔函数生成；当p为奇素数时，其来源于F_p上的PPs。
• 所构造的CSS中任意两个不同序列之间的汉明距离至少为3p^{m-2}，表明其具有强纠错能力。
• 该方法通过在CCCs与二水平自相关序列之间建立直接的代数联系，完整解决了Paterson和Tarokh（2000年）提出的开放性问题。
• 该框架通过利用已知的二水平自相关序列（如m序列、GMW序列和三元序列）实现了新型低PMEPR CSS和CCC的构造。