[论文解读] Constructions of contact forms on products and piecewise fibered manifolds

Bogus Law Hajduk, Rafa L Walczak|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 8

一句话总结

该论文通过引入凸型强辛折叠的概念，在闭流形与分段纤维化流形的乘积上构造了接触形式。证明了若流形 $M$ 具有此类结构且 $X$ 为接触流形，则 $M \times X$ 携带接触形式；在自然条件下，该结果可推广至纤维丛，从而在丛与球面的乘积上构造出新的接触结构，并应用于可填充性与手术理论。

ABSTRACT

We study constructions of contact forms on closed manifolds. A notion of strong symplectic fold structure is defined and we prove that there is a contact form on $M \x X$ provided that $M$ admits such a structure and $X$ is contact. This result is extended to fibrations satisfying certain natural conditions. Some examples and applications are given.

研究动机与目标

• 建立在 $M$ 为闭流形且 $X$ 为接触流形时，$M \times X$ 上接触形式存在的充分条件。
• 将 Geiges-Stipsicz 在 $M \times S^1$ 上的接触形式公式推广至高维乘积与纤维丛。
• 研究辛折叠——特别是凸型与凹型强辛折叠——在纤维化流形上构造接触结构的用途。
• 探索接触拓扑中的应用，包括可填充性、手术与爆破，表明某些可填充性障碍在与 $S^1$ 取乘积后消失。
• 在分解流形上发展局部化接触形式构造方法，从而引入一类新的分段纤维化流形，其上支持接触结构。

提出的方法

• 引入凸型强辛折叠的概念：分解 $M = W_- \cup_N W_+$，其中 $\omega_\pm = d\gamma_\pm$ 为精确辛形式，且在超曲面 $N$ 的邻域上满足凸性条件。
• 应用 Giroux-Mohsen 定理，将任意接触形式变形为源自开书分解的形式。
• 利用 Altschuler-Wu 热流变形方法，将共形结构转化为接触形式，利用开书结构的特性。
• 利用开书分解与 $X$ 上的接触形式，在 $M \times X$ 上构造共形结构，再通过热流变形为真正的接触形式。
• 在结构群保持接触结构的条件下，将该构造推广至以 $M$ 为底空间、具有接触纤维的纤维丛。
• 将该方法应用于具体例子，包括与奇数维球面及齐次空间的乘积，并通过 Mathematica 在低维情形下进行显式计算以验证接触性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在闭流形 $M$ 与接触流形 $X$ 的乘积 $M \times X$ 中，满足何种条件时可赋予接触形式？
• RQ2 能否将 $M \times S^1$ 上接触形式的构造推广至与多个球面或高阶环面的乘积？
• RQ3 若 $M$ 上存在凹型强辛折叠，是否仍可在 $M \times X$ 上构造接触形式？
• RQ4 通过与 $S^1$ 取乘积，是否可消除辛填充性的障碍？若可，对接触形式有何条件要求？
• RQ5 在具有强辛折叠的流形上，哪些类别的纤维丛其全空间支持接触结构？

主要发现

• 若 $M$ 具有凸型强辛折叠且 $X$ 为接触流形，则 $M \times X$ 携带接触形式。
• 当 $X$ 为接触流形且 $k_1 + \cdots + k_r$ 为偶数时，乘积 $X \times S^{k_1} \times \cdots \times S^{k_r}$ 为接触流形。
• 当 $M$ 为接触型强辛折叠且 $k_1 + \cdots + k_r$ 为奇数时，乘积 $M \times S^{k_1} \times \cdots \times S^{k_r}$ 为接触流形。
• 对于 $X = S^{2n+1}$，形式 $e^t\lambda + d\phi$ 可在某些 $S^{2n+1}$ 上的接触形式 $\lambda$ 下延拓为 $W \times S^1$ 上的接触形式，即使当 $n=1$ 时 $\lambda$ 为过载形式，亦成立，表明 $S^1$-乘积可消除可填充性障碍。
• 该构造为局部化构造，可推广至分段纤维化流形，从而在由具有相容折叠的辛钴边部分构成的流形上实现接触结构。
• 在 9 维情形的显式计算表明，所构造形式 $\tau$ 的 Reeb 向量场定义良好且横截于径向方向，从而在退化集之外验证了接触条件。